Сторона ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор |
1. Сторона ромба через высоту и площадь
Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).
Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой
\(\small a=\frac<\large S><\large h>.\) | (1) |
Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
\(\small S=a \cdot h.\) |
Откуда легко вывести формулу (1).
2. Сторона ромба через высоту и угол
Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.
Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
\(\small \frac<\large a><\large \sin 90°>=\frac<\large h><\large \sin \alpha>.\) |
Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
\(\small a=\frac<\large h><\large \sin \alpha>.\) | (2) |
Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: \(\small \angle C=180°-\alpha.\) Следовательно \(\small \sin \angle C=\sin(180°-\alpha)=\sin \alpha.\) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
3. Сторона ромба через диагонали
Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
\(\small a^2= \left( \frac<\large d_1> <\large 2>\right)^2+\left( \frac<\large d_2> <\large 2>\right)^2.\) |
\(\small a= \frac<\sqrt<\large d_1^2+d_2^2>> <\large 2>\) | (3) |
4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
\(\small \frac<\large a><\large \sin 90°>=\frac<\large \frac |
Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:
\(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \sin \frac< \alpha>< 2>>.\) | (4) |
Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:
\(\small \sin \frac< \alpha>< 2>=\sqrt<\frac<\large 1-\cos \alpha><\large 2 >>.\) | (5) |
Подставляя (5) в (4), получим:
\(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \sqrt<\frac<\large 1-\cos \alpha><\large 2 >>>.\) |
\(\small a=\large \frac< d>< \sqrt< 2-2 \ \cdot \ \cos \alpha>>.\) | (6) |
5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
\(\small \frac<\large OB > <\large a>=\cos \angle ABO.\) | (7) |
Учитывая, что \( \small BO=\frac<\large d><\large 2>\) и \( \small \angle ABO=\frac<\large \alpha><\large 2>\), формулу (13) можно записать так:
\(\small \frac< \large \frac<\large d > <\large 2>><\large a>= \cos \frac<\large \alpha> <\large 2>.\) |
\(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \cos \large \frac< \alpha>< 2>>.\) | (8) |
Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:
\(\small \cos \frac< \alpha>< 2>=\sqrt<\frac<\large 1+\cos \alpha><\large 2 >>.\) | (9) |
Подставляя (9) в (8), получим:
\(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \sqrt<\frac<\large 1+\cos \alpha><\large 2 >>>.\) |
\(\small a=\large \frac< d>< \sqrt< 2+2 \ \cdot \ \cos \alpha>>.\) | (10) |
6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой
\(\small S= 2 \cdot a \cdot r.\) | (11) |
Из формулы (11) получим:
\( \small a=\frac<\large S> <\large 2 \ \cdot \ r>\) | (12) |
7. Сторона ромба через площадь и угол
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой
\(\small S= a^2 \cdot \sin \alpha.\) | (13) |
Из формулы (13) найдем a:
\( \small a=\frac<\large S> <\large \sin \alpha>\) | (14) |
Получили формулу сторон ромба через площадь и угол.
Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
Рис.1 | Рис.2 |
Признаки ромба
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
Основные свойства ромба
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
AC 2 + BD 2 = 4AB 2
Сторона ромба
Формулы определения длины стороны ромба:
1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
a = | S |
ha |
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
a = | √ S |
√ sinα |
a = | √ S |
√ sinβ |
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
a = | S |
2 r |
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
a = | √ d 1 2 + d 2 2 |
2 |
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):
a = | d 1 |
√ 2 + 2 cosα |
a = | d 2 |
√ 2 — 2 cosβ |
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
a = | d 1 |
2 cos ( α /2) |
a = | d 1 |
2 sin ( β /2) |
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
a = | d 2 |
2 cos ( β /2) |
a = | d 2 |
2 sin ( α /2) |
8. Формула стороны ромба через периметр:
a = | Р |
4 |
Диагонали ромба
Формулы определения длины диагонали ромба:
d 1 = a √ 2 + 2 · cosα
d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ
d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ
d 2 = a √ 2 — 2 · cosα
d 1 = 2 a · cos ( α /2)
d 1 = 2 a · sin ( β /2)
d 2 = 2 a · sin ( α /2)
d 2 = 2 a · cos ( β /2)
7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:
d 1 = | 2S |
d 2 |
d 2 = | 2S |
d 1 |
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:
d 1 = | 2 r |
sin ( α /2) |
d 2 = | 2 r |
sin ( β /2) |
Периметр ромба
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.
Формула определения длины периметра ромба:
Площадь ромба
Формулы определения площади ромба:
4. Формула площади ромба через две диагонали:
S = | 1 | d 1 d 2 |
2 |
5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:
S = | 4 r 2 |
sinα |
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):
S = | 1 | d 1 2 · tg ( α /2) |
2 |
S = | 1 | d 2 2 · tg ( β /2) |
2 |
Окружность вписанная в ромб
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:
r = | h |
2 |
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:
r = | S |
2 a |
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:
r = | √ S · sinα |
2 |
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:
r = | a · sinα |
2 |
r = | a · sinβ |
2 |
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:
r = | d 1 · sin ( α /2) |
2 |
r = | d 2 · sin ( β /2) |
2 |
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
r = | d 1 · d 2 |
2√ d 1 2 + d 2 2 |
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:
r = | d 1 · d 2 |
4 a |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Указания к решению заданий по алгебре 1 часть
Алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ
Индивидуальные задания и методические указания
для студентов ФДПО ИНО специальности 220100
Вычислительные машины, комплексы, системы и сети
УДК 519.24.001.5
Кандидат техн. наук, доцент кафедры высшей математики
Контрольные задания по алгебре и аналитической геометрии и математическому анализу для студентов ФДПО ИНО специальности 220100 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети/ Курск. гос. техн. ун-т; Сост. Л.В.Карачевцева. Курск, 2004. 77 с.
В данной работе содержатся индивидуальные задания и методические указания, необходимые для выполнения работы.
Работа предназначена для студентов технических специальностей.
Табл. 2. Библиогр.: 11 назв.
Текст печатается в авторской редакции
ИД №06430 от 10. 12. 2001. ПЛД № 50-25 от 01. 04.97.
Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 0,56. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 50 экз. Заказ ……….
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
Содержание
1. Индивидуальные задания по алгебре и аналитической геометрии.……..5
2. Указания к решению заданий по алгебре и аналитической
2.1. Пример выполнения задания 1……………………………………….15
2.2. Пример выполнения задания 2……………………………………….20
2.3. Пример выполнения задания 4……………………………………….22
2.4. Пример выполнения задания 5……………………………………….27
3. Индивидуальные задания по математическому анализу……….……..33
4. Указания к выполнению заданий по математическому анализу………55
4.1. Указания к заданию 1…………..……………………………………55
4.1.1. Основные теоретические положения…………………………55
4.1.2. Пример выполнения задания 1………………………………..57
4.2. Указания к заданию 2……..…………………………………………61
4.2.1. Основные теоретические положения…………………………61
4.2.2. Пример выполнения задания 2………………………………..62
4.3. Указания к заданиям 3 и 4……..…………………………………….64
4.3.1. Основные теоретические положения…………………………64
4.3.2. Пример выполнения задания 3………………………………..66
4.3.3. Пример выполнения задания 4………………………………..67
4.4. Указания к заданию 5……..……………………………………….. 68
4.4.1. Основные теоретические положения…………………………68
4.4.2. Пример выполнения задания 5………………………………. 69
4.5. Указания к заданию 6…………..……………………………………71
4.5.1. Основные теоретические положения…………………………71
4.5.2. Пример выполнения задания 6………………………………. 73
Список рекомендуемой литературы ………………………………………77
Введение
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по конспектам лекций и учебникам, решение задач, самопроверка усвоения материала, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам университет организует установочные лекции, практические занятия и консультации. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь вуза окажется достаточно эффективной.
В процессе изучения курсов алгебры и аналитической геометрии и математического анализа студент должен выполнить контрольную работу по каждому разделу, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе и подготовке к экзамену. Рецензия на эти работы позволяет студенту судить о степени усвоения им материала, указывает на имеющиеся у него проблемы.
Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цветов. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
В контрольную работу студента должны быть включены все задания. Работа, содержащая не все задания, а также задания не своего варианта, не рассматривается.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Все исправления и дополнения, на которые указал рецензент, должны быть выполнены на чистых листах в той же тетради, что и прорецензированная работа. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
Контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированной контрольной работы студент не допускается к сдаче экзамена.
Индивидуальные задания по алгебре
И аналитической геометрии
Задание 1
Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) методом Гаусса;
б) по формулам Крамера;
в) с помощью обратной матрицы.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. ; 26. .
Задание 2
Решить матричное уравнение .
Ответ проверить подстановкой в уравнение.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
Задание 3
1. На прямой найти точку равноудаленную от двух данных точек А(1; 1), В(3; 0).
2. Найти координаты точки, симметричной точке (2; -4) относительно прямой .
3. Найти уравнение диагонали параллелограмма, проходящей через точку пересечения его сторон и , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке F(-1; 0).
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 6) и образующей с осями координат треугольник, который находится во второй четверти и имеет площадь 3 кв.ед.
5. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон и и уравнение одной из его диагоналей .
6. Даны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей . Диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнение трех остальных сторон ромба.
7. Уравнения двух сторон параллелограмма и , а уравнение одной из диагоналей . Найти координаты вершин.
8. Даны уравнения сторон треугольника: (АВ) 7x-2y+32=0; (АС) x+ +y +2=0; (ВС) 4x+y-1=0. Найти точку пересечения его высот.
9. Даны стороны треугольника: (АС)2x-15y-55=0; (АВ)4x-3y+25=0; (ВС) 14x+3y-61=0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С и через точку на стороне АВ, делящую ее (считая от вершины А) в отношении 1:4.
10.Окружность проходит через точки М(1; 0) и N(2; 1). Найти центр этой окружности, если известно, что он лежит на прямой .
11.Точки В(1; 2) и С(3;-6) симметричны относительно некоторой прямой. Составить уравнение этой прямой.
12.Площадь прямоугольного треугольника, катетами которого являются оси координат, равна 8. Составить уравнение гипотенузы, если известно, что она проходит через точку А(-4; 8).
13.Даны две стороны и и диагональ ромба. Найти вершины ромба.
14.Найти координаты вершин параллелограмма, в котором известны две стороны и и диагональ .
15.Две стороны треугольника заданы уравнениями и , а середина третьей стороны — точка (2;3). Составить уравнение третьей стороны.
16.Даны стороны треугольника: (АВ) 4x+3y-10=0; (ВС) 3x+2y-8=0; (АС) 8x+5y-18=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С и делящей сторону АВ в отношении 2:3 (считая от вершины А).
17.Даны стороны треугольника: (АВ) 4x-3y+26=0; (АС) х+2y+1=0; (ВС) 7x+3y-37=0. Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины В и высоты, проходящей через вершину С.
18.Точка К отстоит на одинаковых расстояниях от точек Р(7;8) и Q(1;2). Найти координаты точки К, если известно, что она лежит на прямой .
19.Известны уравнения двух сторон ромба и и одной из его диагоналей . Вычислить координаты вершин ромба.
20.Написать уравнение сторон ромба, если известны диагональ , точка ее пересечения с другой диагональю (0; 2) и одна из сторон .
21.Стороны треугольника заданы уравнениями: (АВ) (ВС) 3х-4y=0; (АС) 5х+12y-10=0. Найдите радиус описанной окружности.
22.Найти точку пересечения высот треугольника, стороны которого лежат на прямых , .
23.Даны стороны треугольника: (АС) 9x-2y-51=0; (АВ) 4x+3y+24=0; (ВС) x+2y+1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С и точку К на стороне АВ, делящую ее в отношении 3:7 (считая от вершины В).
24.Даны уравнения сторон треугольника ; , . Найти точку пересечения высот.
25.Даны вершины А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.
26.Диагонали ромба пересекаются в точке К(-2; 4). Составить уравнение диагонали, не проходящей через точку пересечения сторон и .
Задание 4
На плоскости даны точки , , . Сделать чертеж треугольника и найти:
а) длину и уравнение ребра ВС (записать общее, каноническое, параметрические уравнения, а также уравнения в отрезках и с угловым коэффициентом, если это возможно);
б) косинус угла А;
в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС;
г) высоту, проведенную к стороне ВС, и ее уравнение;
д) уравнение медианы, проведенной к стороне ВС;
е) координаты центра и радиус описанной окружности;
ж) площадь треугольника;
з) центр тяжести треугольника.
Координаты точек А, В, С
n | x1 | y1 | х2 | y2 | x3 | y3 |
-2 | -2 | |||||
-3 | -11 | -3 | ||||
-7 | -7 | |||||
-4 | -3 | -3 | ||||
-1 | -7 | -1 | ||||
-1 | -3 | |||||
-9 | -11 | |||||
-5 | -14 | |||||
-3 | -1 | -9 | ||||
-5 | -3 | |||||
-9 | -9 | -5 | -5 | |||
-7 | -3 | -7 | ||||
-6 | -2 | -2 | ||||
-2 | -4 | |||||
-1 | -1 | -8 | -1 | |||
-7 | -7 | -4 | ||||
-6 | -14 | -6 | -8 | |||
-7 | -2 | -2 | ||||
-5 | -1 | -1 | -1 | |||
-5 | -4 | |||||
-3 | -1 | -3 | ||||
-1 | -6 | |||||
-9 | ||||||
-3 | -7 | |||||
-9 | -3 | -1 |
Задание 5
В пространстве даны точки , . Сделать схематично чертеж пирамиды SABC и найти:
а) длину и уравнения ребра АВ;
б) площадь и уравнение грани АВС;
в) высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;
г) проекцию вершины S на плоскость АВС;
д) уравнения проекции ребра АS на грань АВС;
е) уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;
ж) уравнение плоскости, проходящей через вершину S парал-
лельно грани АВС;
з) угол между ребрами АВ и AS;
и) угол между ребром AS и гранью АВС;
к) угол между гранями АВС и АВS;
л) координаты центра тяжести пирамиды АВСS;
м) объем пирамиды АВСS.
Значения
n | a1 | a2 | a3 |
-2 | |||
-3 | |||
-4 | |||
-5 | |||
-6 | |||
-7 | |||
-1 | |||
-2 | |||
-3 | |||
-4 | |||
-5 | |||
-6 | |||
-7 | |||
-1 | |||
-2 | |||
-3 | |||
-4 | |||
-5 | |||
-6 | |||
-7 | |||
-1 | |||
-2 | |||
-3 | |||
-4 | |||
-5 | |||
-6 |
Указания к решению заданий по алгебре
И аналитической геометрии
Пример выполнения задания 1
Решить систему линейных уравнений
.
а) методом Гаусса:
— к элементам первой и третьей строк прибавим соответствующие элементы второй строки:
— к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на -4;
— к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки:
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/
http://allrefrs.ru/5-46679.html