Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»
В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»
Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :
А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49
Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36
Ответ : О (-7; -1); R= 6
В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81
Ответ : О (6; -15); R= 9
Ответ : О (0; 9); R= V͞2
Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :
В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11
Задание № 2 ( проверка)
Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,
если А( -4; 7), В ( 2; 5 )
Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,
если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)
Составьте уравнение окружности с центром в точке
А(-4; 2), которая касается оси ординат.
Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.
Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:
А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;
Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением
Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек
А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.
Решение задач по теме: «Уравнение окружностей»
Разделы: Математика
За неделю до проведения урока класс делится на четыре группы. Каждая готовит презентацию, отражающую название команды.
1. Образовательные:
2. Развивающие:
3. Воспитательные:
Ход урока
I. Организационный момент.
В начале урока выдается командам оценочный лист ( Приложение 1 ) с целью самостоятельной оценки учащимися степени участия каждого члена команды в подготовке к уроку и его проведении.
Рассказываются правила урока. За каждое правильное решение команде выдается лепесток определенного цвета:
все ответы верные – красный;
одна ошибка – зеленый;
две ошибки – жёлтый.
Лепестки крепятся на магнитную доску, образуя цветок.
Итоговая оценка выставляется с учетом этого бланка, а также учитывается количество и цвет набранных командой лепестков в цветке на доске.
2. Знакомство с командами (представление презентаций, Приложение 2 ).
3. Актуализация знаний учащихся.
– На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач МЕТОДОМ КООРДИНАТ.
Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.
Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат
Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый “Аналитической геометрией”.
Сегодня я предлагаю еще раз поговорить об уравнении окружности и проследить, как алгебра помогает в решении геометрических задач.
4. Разминка.
– На доске записан ряд уравнений. Какие фигуры они задают?
Команды получают карточки с заданием. Время обдумывания 2мин.
По истечению времени идет опрос команд по очереди.
1 | 7. |
2. | 8. |
3. | 9. |
4. | 10. |
5. | 11. |
6. | 12. |
Последнее уравнение вызывает сомнения т.к. ранее не встречалось в таком виде.
Учитель показывает как, выделив полный квадрат, получить уравнение окружности.
Оценить результат работы команд.
Выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. Если нет, то почему?
Каждая из команд получают свою карточку. Время 7 минут.
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
1. | 1. |
2 | 2 |
3 | 3 |
Последние уравнение в каждой карточке не задает окружность, и учащиеся поясняют почему. Оценить ответы.
1. Как могут взаимораспологаться две окружности? Дается время(3 мин.). Предлогается ребятам нарисовать различные варианты на ватмане и показать рисунки. После демонстрации и обсуждения всевозможных вариантов Предлогается следующая задача.
2. Как взаиморасположены линии заданные уравнениями?
и
Изобразите ответ на обратной стороне ватмана (на нем, заранее, нанесена система координат.)
Ответ:
O
Значит: первая внутри второй.
Результат этого задания оценивается следующим образом:
Команда, выполнившая первая – красный; вторая – зеленый; третья – желтый
После подведения итогов предлагается задача общая для всех команд.
Командам выдается карточка с кратким описанием условия. Текст задачи зачитывается.
Окружность задана уравнением .
Точка с координатами (5;4) является центром другой окружности касающейся первой внешним образом. Напишите уравнение этой окружности.
Вопросы для обсуждения:
-Поможет ли рисунок в решении задачи?
-Что можно узнать из уравнения первой окружности?
-Что надо знать, чтобы записать уравнение второй окружности?
-Как можно узнать радиус второй окружности?
Ответ:
Перед следующим заданием полезно повторить:
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Что значит, точка принадлежит графику уравнения?
Что необходимо знать для написания уравнения окружности?
Написать уравнение окружности описанной около треугольника с заданными координатами вершин.
Какие, алгебраические, приемы могут быть использованы для решения поставленной задачи? (составление систем уравнений и приемы их решения).
3. С (3;-7) | 4. В (1;-4) |
Д (8;-2) | К (4;5) |
К (6;2) | Д (3;-2) |
1. | 2. |
3. | 4. |
Следующую задачу решает учитель.
Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?
Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)
Решение получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.
Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.
1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1
Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.
Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)
Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.
Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:
Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.
Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.
Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k1 получим уравнение окружности в виде
.
Такая окружность называется окружностью Апполония.
Подводится итог урока. Выставляются оценки.
http://multiurok.ru/files/rieshieniie-zadach-po-tiemie-uravnieniie-okruzhn-1.html
http://urok.1sept.ru/articles/412785