Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности
п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm
Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.
Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции
Симметричное отображение относительно оси OY
Симметричное отображение относительно оси OX
Центральная симметрия относительно начала координат
Параллельный перенос графика на a единиц вправо
Параллельный перенос графика на a единиц влево
Параллельный перенос графика на b единиц вниз
Параллельный перенос графика на b единиц вверх
Сжатие графика к оси OY в a раз
Сжатие графика к оси OX в b раз
F(x; by) = 0
0 Например:
Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$
п.4. Примеры
Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm
б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm
в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm
г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm
Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm
Строим график для \( \mathrm
б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.
в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.
г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).
д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.
Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.
Решение задач по теме: «Уравнение окружностей»
Разделы: Математика
За неделю до проведения урока класс делится на четыре группы. Каждая готовит презентацию, отражающую название команды.
1. Образовательные:
2. Развивающие:
3. Воспитательные:
Ход урока
I. Организационный момент.
В начале урока выдается командам оценочный лист ( Приложение 1 ) с целью самостоятельной оценки учащимися степени участия каждого члена команды в подготовке к уроку и его проведении.
Рассказываются правила урока. За каждое правильное решение команде выдается лепесток определенного цвета:
все ответы верные – красный;
одна ошибка – зеленый;
две ошибки – жёлтый.
Лепестки крепятся на магнитную доску, образуя цветок.
Итоговая оценка выставляется с учетом этого бланка, а также учитывается количество и цвет набранных командой лепестков в цветке на доске.
2. Знакомство с командами (представление презентаций, Приложение 2 ).
3. Актуализация знаний учащихся.
– На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач МЕТОДОМ КООРДИНАТ.
Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.
Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат
Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый “Аналитической геометрией”.
Сегодня я предлагаю еще раз поговорить об уравнении окружности и проследить, как алгебра помогает в решении геометрических задач.
4. Разминка.
– На доске записан ряд уравнений. Какие фигуры они задают?
Команды получают карточки с заданием. Время обдумывания 2мин.
По истечению времени идет опрос команд по очереди.
1 | 7. |
2. | 8. |
3. | 9. |
4. | 10. |
5. | 11. |
6. | 12. |
Последнее уравнение вызывает сомнения т.к. ранее не встречалось в таком виде.
Учитель показывает как, выделив полный квадрат, получить уравнение окружности.
Оценить результат работы команд.
Выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. Если нет, то почему?
Каждая из команд получают свою карточку. Время 7 минут.
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
1. | 1. |
2 | 2 |
3 | 3 |
Последние уравнение в каждой карточке не задает окружность, и учащиеся поясняют почему. Оценить ответы.
1. Как могут взаимораспологаться две окружности? Дается время(3 мин.). Предлогается ребятам нарисовать различные варианты на ватмане и показать рисунки. После демонстрации и обсуждения всевозможных вариантов Предлогается следующая задача.
2. Как взаиморасположены линии заданные уравнениями?
и
Изобразите ответ на обратной стороне ватмана (на нем, заранее, нанесена система координат.)
Ответ:
O
Значит: первая внутри второй.
Результат этого задания оценивается следующим образом:
Команда, выполнившая первая – красный; вторая – зеленый; третья – желтый
После подведения итогов предлагается задача общая для всех команд.
Командам выдается карточка с кратким описанием условия. Текст задачи зачитывается.
Окружность задана уравнением .
Точка с координатами (5;4) является центром другой окружности касающейся первой внешним образом. Напишите уравнение этой окружности.
Вопросы для обсуждения:
-Поможет ли рисунок в решении задачи?
-Что можно узнать из уравнения первой окружности?
-Что надо знать, чтобы записать уравнение второй окружности?
-Как можно узнать радиус второй окружности?
Ответ:
Перед следующим заданием полезно повторить:
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Что значит, точка принадлежит графику уравнения?
Что необходимо знать для написания уравнения окружности?
Написать уравнение окружности описанной около треугольника с заданными координатами вершин.
Какие, алгебраические, приемы могут быть использованы для решения поставленной задачи? (составление систем уравнений и приемы их решения).
3. С (3;-7) | 4. В (1;-4) |
Д (8;-2) | К (4;5) |
К (6;2) | Д (3;-2) |
1. | 2. |
3. | 4. |
Следующую задачу решает учитель.
Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?
Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)
Решение получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.
Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.
1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1
Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.
Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)
Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.
Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:
Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.
Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.
Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k1 получим уравнение окружности в виде
.
Такая окружность называется окружностью Апполония.
Подводится итог урока. Выставляются оценки.
Уравнение окружности
Разбираем несколько задач с огэ, разбираем тему уравнение окружности и решаем задачи на эту тему, а так же повторяем тему векторы
Просмотр содержимого документа
«Уравнение окружности»
Подготовка к ОГЭ
1. Радиус окружности равен 25,
а расстояние от центра окружности
до хорды равно 15 (см. рисунок).
Найти длину хорды
2. Сумма двух углов равнобедренной
Найдите больший угол трапеции.
Ответ дайте в градусах.
3. Найти площадь трапеции,
изображенной на рисунке
4.Какие из следующих утверждений верные?
(х₀; у₀) – центр окружности
R- радиус окружности.
1. Для уравнения (х-3)²+ (у+1)² = 25, центр данной окружности (3;-1), а R = 5, т.к. 5² = 25
2. Записать уравнение окружности с центром в точке А (0;-4) и радиусом 3
- Дана окружность (х-3)²+(у+4)² = 100 . Определите, какие из точек
А (-6;1) B (2; -13), С(9;-12) лежат:
- а) на окружности;
- б) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
- в) вне круга, ограниченного данной окружностью .
100, значит А лежит вне круга В (2; -13) ( 2-3) ²+ (-13+4)² = 100 (-1)²+(-9)² =1+81=82 82 » width=»640″
- Подставляем координаты каждой точки в уравнение окружности
- А (-6;1)
106100, значит А лежит вне круга
82
100=100, значит точка лежит на окружности
2. Запишите уравнение окружности с центром в точке С и радиусом R, если
- 1. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный, если А(-5;2) В(3;5) С(3;-1)
2. Найти координаты вектора р и его длину, если
- Повторить все
- № 989 (а,в)
- 990( для векторов p, q)
- 993
http://urok.1sept.ru/articles/412785
http://multiurok.ru/files/uravnenie-okruzhnosti.html