Уравнение окружности для комплексных чисел

Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел

Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число. Из равенств и однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа и :

Поэтому комплексные числа z и называются сопряженными комплексными координатами этой точки.

Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.

Геометрический смысл уравнения: .

Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению:

Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему относительно и :

второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при , путем вычитания второго уравнения из первого получаем:

Если , т.е. , то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения будет единственное число z=0. При уравнение напишем в виде . Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы , откуда . Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом к действительной оси (рис.1).

задается прямая при и точка при .

Пусть теперь . Свободный член уравнения (2) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать Тогда имеем систему:

из которой получаем: . Рассмотрим возможные случаи.

Если , то и подстановкой в исходное уравнение получаем: или .

При его решение единственно:

При решений нет.

Если , то и , т. е. . В этом случае уравнением (2) при прямая. В самом деле, возьмем точку и вектор точки В(b) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из которых (MQ)(OB):

Очевидно, это множество есть прямая. При и уравнение (4) эквивалентно уравнению (2).

Таким образом, при и уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Наконец, отметим случай, когда , но . Тогда система:

приводит к противоречию: , т.е. .

Подведем итоги. Уравнением , в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, задается:

1) прямая при |а|=|b|, с=0, а также при ;
2) единственная точка при ;
3) пустое множество в иных случаях, т. е. при |a| = |b|, , а также при , .

Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:

не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и b не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при , приходим к уравнению , которое:

а) имеет единственное решение при ;
б) имеет бесконечное множество решений при и ;
в) не имеет решений при и .

Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение определяет:

а) единственную точку при
б) прямую при и ;
в) пустое множество при и .

прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой.

6. Две прямые. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая т задана приведенным уравнением . Так как она перпендикулярна вектору , то вектор будет ей параллелен (рис.2).

Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai:

Положительно ориентированный угол от прямой до прямой равен углу между их направляющими векторами и :

Формулы (6) и (7) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого .

Из формулы (7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых и . В самом деле, чисто мнимое число. Это значит, что , или:

При или получаем:

Если прямая проходит через точку , то и ее уравнение можно написать в виде:

В силу условия (8) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, z и будут соответственно числа а и . Поэтому на основании уравнения (10) получаем уравнение:

прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Решение системы:

основания M₁ перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

Так как расстояние d от точки M₀ этой прямой равно, то:

Геометрический смысл, уравнения .

Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S (s) и радиусу R :

Пусть дано уравнение:

в котором на комплексные коэффициенты а, b, с не накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:

Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с.

1. Сравнивая уравнение (16) с уравнением (14) окружности, приходим к выводу, что уравнение (16), а значит, и уравнение (15) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab- с — действительное число. Так как в этом случае , то с должно быть действительным числом.

есть уравнение окружности с центром s=-b и радиусом .

2. При и с=ab уравнению (16) удовлетворяет единственная точка s=-b. В частности, этот случай имеет место при а=b=с=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением задается окружность с центром s=-b нулевого радиуса.
3. Если , , но , то — чисто мнимое число. Полагаем , тогда (16) можно записать так:

Уравнению (18) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении z. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iR с действительным центром S, имеющим комплексную координату s=-b.

4. Когда , но , уравнение (16) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого!).
5. Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда из уравнения (15) вычтем уравнение , получающееся из (15) переходом к сопряженным комплексным числам. Получаем:

Выполняя эту подстановку в уравнение (15), приводим его к виду:

При уравнения (15) и (19) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант:

квадратного уравнения (19), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При D=0 совпавшие точки имеют комплексную координату:

В частности, при c=ab как уравнение (16), так и уравнение (19) дает пару точек z₁=-b и .

Итак, уравнением (15) задается либо окружность (действительная, мни мая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.

Рассмотрим одну замечательную пару окружностей.

Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.

Для того чтобы окружности (A, R) и (В, r) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы |AB| 2 =R 2 +r 2 , или:

Если окружности заданы уравнениями:

то , и поэтому критерий (20) их ортогональности трансформируется так:

Решение задач

Задача 1. Хорды АВ и PQ окружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ, если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Q пробегают данную окружность (рис.3).

Решение. Пусть z — комплексная координата произвольной точки М искомого множества и данная окружность принята за единичную . В силу зависимости координат точек, принадлежащих секущей к окружности (см. предыдущую статью), имеем:

откуда . Подставляя эти выражения во второе равенство, получаем:

Привлекая , полученному уравнению придадим вид:

Теперь ясно, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая АВ, а другая имеет уравнение:

в приведенной форме. Как видим, эта прямая не зависит от хорды АВ, а определяется лишь окружностью и точкой С. Она называется полярой точки С относительно окружности .

Задача 2. Около окружности описан квадрат ABCD. Точки — ортогональные проекции его вершин A, В, С, D соответственно на произвольную касательную к окружности. Доказать, что:

Решение. Радиус окружности примем за единицу длины. Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью имели координаты . Тогда вершины А, В, С, D будут иметь координаты Касательная к окружности в ее произвольной точке Р (р) имеет уравнение в приведенной форме. Руководствуясь формулой (13), находим:

Задача 3. Вершины A и В прямоугольного равнобедренного треугольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l на прямую, проходящую через вершину С прямого угла, соответственно в точки и . Доказать, что сумма зависит только от угла между осью проекций и прямой l (при заданном треугольнике АВС).

Решение. Примем ось проекций за действительную ось х и вершину С за начало О. Прямую l проведем через О и зададим принадлежащей ей точкой Р(р), |p|=1. Ее уравнение имеет вид. Если вершина A имеет координату а, |а|=1, то вершине В соответствует число ai (рис.4).

Прямые АА₁ и BB₁получают уравнения и . Для точек, лежащих на оси х проекций,. Подстановкой в предыдущие уравнения получаем координаты точек А₁ и В₁:

где — указанный в условии задачи угол..

Задача 4. На окружности взяты четыре произвольные точки А, В, С, D. Окружности соответственно с центрами A, В, С и проходящие через точку D пересекаются вторично попарно в точках (рис.5). Доказать, что точки коллинеарны.

Решение. Пусть окружность является единичной и точка D имеет координату d=l. Используя уравнение (14) и тот факт, что окружность имеет центр A(а) и содержит точку D(1), получаем ее уравнение:

Аналогично окружности и будут иметь уравнения:

Решая систему уравнений окружностей и , находим координату второй общей точки М3 этих окружностей: m3=a+b-ab.

Это число сопряжено самому себе, и потому точки коллинеарны.

Задача 5. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку М (т) ортогонально данной окружности .

Решение. Если окружность обладает заданным свойством, то:

Исключая получаем уравнение относительно :

Им определяется прямая с нормальным вектором , который равен вектору , где — центр данной окружности. Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM (рис.6).

Урок-семинар «Комплексные числа»

Разделы: Математика

Тема “комплексные числа” традиционно считается сложной для изучения. Завершая проходящую через весь школьный курс линию последовательного расширения числовых множеств, она связана и с другим не менее важным разделом – решение уравнений – и вместе с тем даёт возможность установления теснейших связей с геометрией. Богатое идейное и логическое содержание этой темы реализуется в задачах сравнительно высокого технического уровня.

Урок-семинар является последним завершающим в изучении темы “комплексные числа”.

Применение знаний, полученных в ходе изучения темы “Комплексные числа” при решении нестандартных задач.
Развитие познавательного интереса через привлечение исторического материала и прикладных задач.
Систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме “Комплексные числа” через разбор различных методов задач.
Активизация мыслительной деятельности учащихся.

ПЛАН УРОКА

1. Историческая справка

2. Работа по группам

Формируются несколько групп по 3-4 человека в каждой. Им задаются задания, подобранные таким образом, чтобы привлекался материал из различных разделов математики: условие равноудалённости точки от любых точек плоскости, определение модуля комплексного числа, уравнение окружности (задача №1); использование теоремы Виета для многочлена второй степени, изображение комплексных чисел на комплексной плоскости (задача №2); задание с параметром и определение аргумента комплексного числа (задача №3); использование формулы Муавра для возведения комплексного числа в n-ю степень (задача №4).

3. Выступление учащихся с задачами повышенной сложности (3 чел.)

Задачи предложены из экзаменационных работ.

4. Работа по группам

В каждой группе по 2 учащихся.

Для учащихся предоставляются семь задач. Цель которых одна — изобразить на комплексной плоскости все такие числа z, которые удовлетворяют различным заданным условиям. Здесь учащиеся должны упростить заданное выражение, получить либо уравнение, либо неравенство. Затем построить графики и найти нужный на доске. В это время на доске находятся все графики. Все графики различны. Они такие как: парабола, окружность, гипербола, круг, прямая , часть “кольца” и полуплоскость. Каждой задаче соответствует буква. В результате учащиеся должны получить определённое слово. (Это слово – отлично).

Учителем приводится задача по физике, в которой можно использовать теорию комплексных чисел.
В конце семинара проводится самостоятельная работа.
Самостоятельная работа состоит из шести задач. Эти задачи составлены по возрастанию степени сложности. Ученикам необходимо набрать нужное количество баллов, чтобы получить “5”, “4” или “3”.
Подводится итог урока, сообщаются оценки учащимся.

Ход урока

1. Историческая справка

Если говорить об эволюции понятия числа, надо сказать, что не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственно практические потребности людей, в узком смысле этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений.

Уже в VII в.н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х 2 = -9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Первым учёным, предложившим ввести числа новой природы, был Джорж Кордано. Он предложил ·= a. Кордано назвал такие величины “чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их.

И всё-таки пришлось допустить такие корни в науку, когда другой итальянский учёный Бомбелли в 1572 году выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название “мнимые числа” ввёл в 1637году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы); этот символ вошёл во всеобщее употребление.

В течение XVIII века продолжалось осуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развилась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII-XVIIIв.в. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра: =.

В конце XVIII-начале XIX в.было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М(а,в) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать число не самой точкой, а вектором , идущим в эту точку из начала координат.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полёт ракет и самолётов. Они применяются при вычерчивании географических карт, и многих других науках.

Работа по группам.

I. Множество Е состоит из всех комплексных чисел z, таких, что, . Найдите все такие числа z_о, что для любых z₁ и z₂ из Е

9х 2 +9у 2 = (х+4) 2 + (у-8) 2

9х 2 – х 2 – 8х – 16 + 9у 2 – у 2 + 16у – 64 =0

8х 2 – 8х – 16 + 8у 2 + 16у – 64 =0

х 2 – х – 2 + у 2 + 2у – 8 =0

(х – 0,5) 2 + (у + 1) 2 = 11,25

Окружность с центром (0,5; -1)

II. Пусть Р(z) – многочлен второй степени. Известно, что его корнями являются числа -1 и i, а Р(0) = 2. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел, таких, что P(z) – действительное число.

Решение.

Заменим многочлен второй степени в общем виде на b.

Т.к -1 и i – корни, то по теореме Виета

P(z) = a(z 2 + (1-i)z – i)

; a = 2i

; c = – 2i 2 ; с = 2

P(z)= P(x + yi)= 2i(x + yi) 2 + (2i + 2)(x + yi) + 2=

= 2i(x 2 +2xyi + y 2 i 2 ) + 2xi + 2x + 2yi 2 + 2yi + 2=

= 2x 2 i + 4xyi 2 – 2y 2 i + 2xy + 4x + 2yi 2 + 4yi +2=

= (– 4xy + 2x + 2 – 2y) + (2x 2 – 2y 2 + 2x + 2y)i

Т.к. по условию P(x + yi) – действительное число, то

x 2 – y 2 + x + y = 0

(x – y)(x + y) + (x + y) = 0

Две прямые

III. Среди всех комплексных чисел z, таких, что , есть ровно одно число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Т.к. аргумент равен , то его действительная и мнимая части противоположны. Причём действительная часть со знаком “-”, а мнимая “+”, тогда z = – x +xi, x > 0

(2 – x) 2 + (x – 3) 2 = a 2

4 – 4x + x 2 + x 2 – 6x + 9 = a 2

2(x – 2,5) 2 – 12,5 + 13 = а 2

2(x – 2,5) 2 = а 2 – 0,5

(x – 2,5) 2 = 0,5(а 2 – 0,5)

По условию ровно одно число удовлетворяет этому соотношению. Значит, уравнение должно иметь кратный корень, что возможно только лишь при (а – число неотрицательное).

Ответ: z = – 2,5 + 2,5i

IV. Пусть . Найдите модуль и один из аргументов числа

Ответ:

Изобразить на комплексной плоскости чисел z, удовлетворяющие условиям и получить слово.

Решение.

Парабола

Пусть М – совокупность всех точек комплексной плоскости, таких что (ReU) 2 + (ZnU) 2 = 1. изобразить на чертеже множество всех точек вида: U = Z + i + 1

Решение.

Z= x + yi : U=x + yi + 1=(x + 1) + (y + 1)i

(x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 1

Окружность с R=1, центр (-1;1)

Решение.

Круг с центром (0;2) R=1

полуплоскость

Найти равнодействующую двух сил в 30 Н и 40 Н, действующих на точку тела под углом 30 0 друг другу.

Решение

Будем считать, что точка приложения сил совпадает с началом координат, а сила сонаправлена с действительной осью. Тогда силе соответствует действительное число 30, а силе комплексное число Откуда модуль равнодействующей будет равен

Найдите

Ответ:

2. При каких числа и будут равными?

z = y – 3 + x 2 i – 2i = (y – 3) + (x 2 – 2)

Для того, чтобы числа были равными необходимо решить систему:

3. Представить число в тригонометрической форме

а) (4 б)

б) (5 б)

4. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющие корни х₁= – 1; х₂= 3+4i (5 б).

(x+1)(x – 3 – 4i)(x – 3+4i) = 0

Ответ: х 3 – 5х 2 + 19х + 25 = 0

5. Решить уравнение на множестве комплексных чисел 10х 4 + 39х 3 + 49х 2 + 39х + 10 = 0 (6 б).

1) 2)

Ответ:

6. Найти все действительные значения а, при которых уравнение имеет только комплексные корни

(a – 3)z 4 – 2(3a – 4)z 2 + 7a + 6 = 0 (10 б)

Получим уравнение (a – 3)t 2 – 2(3a – 4)t + 7a + 6 = 0

Таким образом, это уравнение имеет два действительных корня t₁, t₂. Для того, чтобы у исходного уравнения корни были комплексными, необходимо, чтобы t₁, t₂ были отрицательными.

По теореме Виета, если t₁ и t₂ – отрицательные, то

Ответ: решений нет.

Ученик, который набрал 16 баллов – “5”

(15 – 13) баллов – “4”

(12 – 10) баллов – “3”

Те задачи, которые ученики не успеют решить в классе, задаются на дом.

источники: