Уравнение окружности это теорема пифагора

Применение теоремы Пифагора: Уравнение окружности

Одним из первых приложений, которые можно найти в Теорема Пифагора, является ее использования при определении уравнение окружности.

Метрические отношения между двумя катетов прямоугольного треугольника, по сути, выражением концепции евклидовой мерой.

Точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра (O).

Круг есть геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и планарных другой колл-центр в постоянном количестве называют радио.(W)

Чтобы определить уравнение окружности сначала рассмотрим случай, в котором он расположен с центром в начале координат системы отсчета, обобщить в любое положение ниже плоскости.

Расстояние от любой точки P(X,год) окружность в ее центре O равна радиусу R. На рисунке видно, что гипотенузы прямоугольного треугольника, ноги в точке с координатами X и год точка P. Таким образом, применяя теорему Пифагора:

Если мы будем двигаться в центр круга до точки с координатами (Хо, Я), как показано на рисунке:

точки будут следовать окружность центр дистанционного R, но в этом случае ноги треугольника больше не будет координаты, но разница между ними и центром. Новое уравнение является:

Мы можем разработать это уравнение и группировки коэффициенты и переменные в упорядоченной, с тем, что мы:

Прямое применение поэтому важная теорема в геометрии.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора и её связь с тремя формулами. В одной из статей мы рассматривали взаимосвязь теоремы Пифагора и теоремы косинусов . Здесь хочу вам рассказать о нескольких формулах, в основе которых лежит теорема Пифагора. Вся прелесть в том, что понимая это, нет необходимости учить представленные ниже формулы. Не раз слышал — мол, как это возможно выучить столько формул в математике?

Ещё раз подчеркну, что выучить необходимо только четверть всех формул или даже меньше. Остальные можно быстро вспомнить или восстановить в памяти, если вы поняли их смысл и понимаете логические связи этих формул с другими. Итак, сама теорема Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник:

ТЕОРЕМА! Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для того, чтобы найти гипотенузу АВ, необходимо извлечь корень из правой и левой части, получим:

То есть, гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов. В курсе математики решается очень много задач, где применяется теорема Пифагора и всем школьникам данные преобразования хорошо известны. Разумеется, необходимо быстро уметь выразить любой катет из формулы, но сейчас речь не о них. Теперь рассмотрим формулы:

Длинна отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, когда известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это не что иное, как длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике с катетами равными х В – х А и у В – у А

Понимая смысл, вы без труда запишите формулу длины отрезка, какими бы буквами не были обозначены концы отрезка.

Модулем вектора называется его длина. Обозначается:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца имеет вид:

Как видим, длина вектора – это так же длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, в данном случае с катетами равными х В – х А и у В – у А .

Радиус окружности, заданной на координатной плоскости.

Пусть дана координатная плоскость и на ней построена окружность радиуса R. Центром окружности является точка А с координатами (х_А;у_А), точка В – это произвольная точка на окружности с координатами (х_В;у_В). Формула радиуса окружности имеет вид:

То есть, радиус окружности также является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами равными х В – х А и у В – у А .

Однозначно, учить формулы длины отрезка, длины вектора и радиуса окружности просто бессмысленно, их достаточно просто понимать. Конечно, многим представленная информация и данные факты хорошо известны, но всё же эта информация будет полезна.

Как теорема Пифагора связана с основным тригонометрическим тождеством мы рассматривали в этой статье . На этом всё. Успехов вам!

Окружность — модель устройства мира

Число Пи ( π ) и Золотая пропорция (φ) связаны абсолютными тождествами (см. Тождественность числа Пи и Золотой пропорции):

При этом 2* π = 360° — это окружность.

Число Пи (выраженное в градусах) — угловая величина и Золотая пропорция – линейная величина, являются различными математическими выражениями одного и того же закона Мироздания, суть которого — целостность и гармоничность мира.

2) Золотая пропорция и уравнение окружности

Золотая пропорция, есть частный случай уравнения окружности x 2 + y 2 = r 2 , при r = 1, а x = y 2 , где x = y 2 – это уравнение параболы (см. Тождественность числа Пи и Золотой пропорции).

Если есть два параметра, числа или явления, связанные между собой Золотой пропорцией, то это говорит о том, что есть также уравнение окружности, включающее в себя эти параметры, т.е. всё, что гармонично, явно или неявно связано функционально через окружность.

3) Теорема Пифагора и окружность

Уравнение окружности задано уравнением x 2 + y 2 = r 2 :

Рассмотрим треугольник ABC:

Т.к. величина ВС равна значению x для точки A, и величина AC равна значению y для точки A, при этом радиус окружности г равен AB, то уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 можно записать в виде:

(ВС) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

А это ничто иное, как уравнение прямоугольного треугольника ABC, с катетами AC, ВС, и гипотенузой AB (Теорема Пифагора).

График взаимосвязи параметров x и y, представляет собой, множество всех точек A прямоугольного треугольника ABC, при изменяемых величинах катетов AC, ВС и постоянной величине гипотенузы AB ( r = const ).

4) Окружность и энергия

Число π в угловых единицах измерения — это 180°, и это — ровно половина окружности. Если угол, соответствующий полной окружности — 2 π , обозначить любой другой буквой, например П (П= 2 π = 360°), то уравнение площади круга запишется в виде:

а уравнение периметра окружности запишется в виде:

Сравните полученные формулы с формулой кинетической энергии тела:

и формулой импульса тела:

Не означает ли это принципиальную связь массы тела с числом Пи? Сопоставляя формулы (например, импульса и длины окружности), из размерностей величин входящих в них, можно увидеть, что отношение массы ко времени будет иметь тот же математический смысл, что и число Пи.

p = mV = ml/t, где l — длина, имеющая ту же размерность, что и радиус окружности [м], а t — время [c].

5) Синус, косинус и уравнение окружности

Так как у = sin(a), а x = cos(a), то уравнение окружности с единичным радиусом x 2 + y 2 = 1, можно записать, как:

В этом случае уравнение окружности будет отражать зависимость не от двух параметров х от y, а только от одного — угла a:

Можно перечислить всё, что, так или иначе, связано с окружностью:

• Окружность — это геометрическая фигура.

• Окружность — это траектория движения, орбита.

• Окружность — это цикличность всех процессов происходящих в мире.

• Прямая линия, это крайний случай дуги окружности с бесконечным радиусом. Так как этот случай один из бесконечного числа вариантов, и окружность с бесконечным радиусов в пределах нашей, конечной по размерам, Вселенной существовать не может, то можно утверждать, что в мире нет прямых линий, также, как и нет прямолинейного движения.

• Уравнение окружности можно представить в виде уравнений синуса и косинуса, поэтому все процессы с параметрами, изменяющиемися, как функция синуса или косинуса (а это — электромагнитные излучения, свет, звук, тепловое излучение, радиоволны, рентгеновское излучение и т.д. и т.п.), т.е. все или почти все процессы во Вселенной, являются частью процессов, изменяющихся по уравнению окружности.

• Уравнение, связывающее катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника (Теорема Пифагора), есть ни что иное, как уравнение окружности в том виде, что гипотенуза — это радиус окружности, а катеты — это проекции радиуса окружности (гипотенузы) на координатные оси.

• Уравнение окружности включает в себе Золотую пропорцию (как частный случай уравнения окружности), и это позволяет связать музыкальную и эстетическую гармонию, а также целостность Вселенной, с окружностью.

• Косвенно, на связь с уравнением окружности указывает подобие формул кинетической энергии, импульса тела и формул площади круга и длины окружности.

• Окружность в виде сферы – самая распространенная форма во Вселенной. Из всех возможных тел, при условии равенства их объёмов, только сфера имеет самую маленькую площадь поверхности.

И это конечно же, далеко не весь список.

Если человечество когда-либо найдёт универсальное математическое описание всему, что происходит в мире, то нет никаких сомнений, что этим описанием будет формула окружности.