Уравнение окружности и прямой
Вы будете перенаправлены на Автор24
Уравнение линии на плоскости
Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат
Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$
Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).
Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат
Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом
Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее
Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид
Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\
Готовые работы на аналогичную тему
Рисунок 3. Прямая в декартовой системе координат
Так как прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.
Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:
Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=
Здесь можно выделить два частных случая для уравнения прямой. Пусть прямая $l$ проходит через точку $M=\
Если прямая $l$ параллельна оси $Ox$, то она имеет вид
Если прямая $l$ параллельна оси $Oy$, то она имеет вид
Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат
Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.
Решение.
Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим
Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$
Получаем, уравнение окружности имеет вид:
Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 04 2021
Геометрия. 9 класс
Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.
Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х1; у1) ∈ L → y1 = f (x1)
N (х2; у2) ∉ L → y2 ≠ f (x2)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x0 и y0, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC2 = r2.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x0) 2 + (y — y0) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС2 = АB2, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.
НАШИ ПАРТНЁРЫ
© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»
Уравнения фигур
Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.
Содержание:
Понятие уравнения фигур
Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).
Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.
Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:
1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.
2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.
Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.
Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.
Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.
Уравнение прямой
Можно доказать такую теорему.
Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида — некоторые числа.
Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение имеет тот или иной частный вид.
1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
2. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).
Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Или, обозначая получим: у = kх + d.
Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.
Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.
Уравнения окружности и сферы
Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).
1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.
2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен (формула расстояния между точками).
3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению
(2, определение окружности).
Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:
Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).
Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:
Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).
Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:
Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).
По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:
Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.
Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:
Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?
Решение:
1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).
2. Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).
3. При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).
4. При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).
5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то откуда , в обратном случае получим (3,4).
6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5)
7. Выразим через координаты:
(1,2, формула расстояния между точками).
8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:
(6,7).
9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).
Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.
Пример 2.
Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?
Решение:
Из условий задачи имеем:
1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках
2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).
3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.
4. По какой линии должен идти наблюдатель?
5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).
6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):
(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).
7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.
(3, 6).
8. Решая это уравнение, получим:
9. Раскроем скобки и перегруппируем:
10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом (4, уравнение окружности).
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/2028/main/
http://natalibrilenova.ru/uravneniya-figur/