Уравнение окружности и прямой задача с примерами

Примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач

«Уравнение окружностей и прямой». Решение задач

Повторение уравнений окружности и прямой и применение при решении задач.

Совершенствование навыков решения задач методом координат

Просмотр содержимого документа
«»Уравнение окружностей и прямой». Решение задач»

Учитель : Л. Н Афанасьева

школа №409 ,г.С.- Петербург

ТЕМА: «Уравнение окружности и прямой.» Решение задач.

Повторить уравнение окружности и прямой.

Показать применение уравнений окружности и прямой при решении задач.

Совершенствование навыков решения задач методом координат.

Дать возможность каждому ученику самостоятельно анализировать и находить ошибки и оценивать чужую работу.

Оборудование 1)Таблица для заполнения 2) Карточки с заданиями.

На парте каждого ученика лежит таблица. Первый столбик заполнен ответами на предстоящий устный счет. Среди ответов есть верные и неверные .

Второй столбик заполняется учеником при выполнении математического диктанта, а затем проверяется соседом по парте с выставлением оценки.

I.Устный счет. Фронтальная работа по указанным вопросам с четкой записью правильных ответов на доске.

Вопросы: 1)Назовите центр окружности

2) Чему равен радиус этой окружности?

3) Верно ли , что точка А(-1;3) лежит на данной окружности ?

4) Является ли АВ хордой данной окружности , если А(2;1) и В(-1;9).

5) Какие из указанных точек А(3;5) , В(-1;-4),С(2;-2) лежат на прямой 7х-у+3=0

6)Назовите уравнение прямой , проходящей через точку М(2;5) параллельной оси абсцисс.

II. Математический диктант.(два варианта). Самостоятельно.

1.Запишите уравнение окружности , с центром в точке А и радиусом R , если : 1)А(2;4) ,R=3. ( 2)А(-1;3) , R=6. )

2.Напишите уравнение прямой , проходящей через точку М и параллельной оси ординат, если : 1) М(3;-2) ( 2) М(1;-4) )

3.Лежит ли точка А(2;-1) на прямой , заданной уравнением , если

4.Найдите координаты центра окружности с диаметром СД , если :

5.Лежит ли точка В на окружности , заданной уравнением

1) В(2;-1) ( 2) В(1;2) . )

Задача. (Составляем алгоритм решения задачи и показываем ее решение на доске . Один ученик начинает решение , следующий продолжает. ) На доске : Дано: окр.(А; R)

А(-3;2) , В(0;-2), точка В лежит на окружности.

Написать уравнение окружности.

1) Общий вид уравнение окружности имеет.

2)Так как А-центр окружности и точка В(0;-2) лежит на окружности , то АВ =R и пользуясь формулой расстояния между двумя точками имеем АВ=

3) Уравнение искомой окружности

Ответ:

IV.На каждую парту кладется карточка с текстом трех задач.

Решаются задачи самостоятельно. Учитель проверяет правильность решения задач первых пяти учеников, а затем один из них показывает решение на доске для проверки своего решения другими учениками.

Напишите уравнение прямой , проходящей через начало координат и точку С(-6;-3).

Выясните взаимное расположение прямой у=25 и окружности

Даны координаты вершин трапеции АВСД : А(-2;2) , В(-3;1) , С(7;7) и Д(3;1).

Напишите уравнение прямой , содержащей диагональ ВД трапеции.

Ответы :1).х-2у=0 2)Окружность и прямая не имеют общих точек 3)у-1=0

Обобщение урока. Какие знания теоретического материала помогли успешно решить задачи.?

Методическая разработка урока по теме: Использование уравнений окружности и прямой при решении задач по учебному предмету: «ГЕОМЕТРИЯ» для учащихся 9 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Ш КОЛА №57 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

Методическая разработка урока

Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

по учебному предмету: « ГЕОМЕТРИЯ»

для учащихся 9 класса

Лазаренко Татьяна Юрьевна

УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ: ГЕОМЕТРИЯ

Тема урока: Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

Совершенствовать навыки решения задач методом координат, организовать деятельность обучающихся на применение уравнений окружности и прямой при решении задач;

содействовать развитию познавательного интереса к предмету;

развивать логического мышления, память, внимание; вырабатывать математическую зоркость и критичность мышления;

развивать навыки самоконтроля, умения пользоваться опорными знаниями для их применения в новой ситуации

Воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству, воспитанию активной творческой личности, умеющей видеть, ставить и решать нестандартные проблемы.

Тип урока : Обобщение и оценка знаний

Форма занятия : групповая работа учащихся, практикум по решению задач, самооценка и взаимооценка учащимися работ

Методы обучения : практический, частично-поисковый

Формы обучения : коллективная, самостоятельная

Технологии: обучения на основе решения задач; проблемного обучения; здоровьесберегающие технологии

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, раздаточный материал

Организационный момент 4мин.

1.1 Выбор настроения для участия в уроке.

1.2 Объявление темы и целей урока.

1.3 Вступительное слово учителя.

II . Актуализация опорных знаний 10мин

2.1 Проверка домашнего задания.

2.2 Устный опрос.

III .Основная часть. Решение задач 15мин.

3.1 Работа у доски .

IV . Физминутка 3мин.

V . Контроль и самопроверка знаний 10 мин

VI . Подведение итогов. Рефлексия 3мин.

1.1 Выбор настроения для участия в уроке.

1.2 Объявление темы и целей урока.

Психологическая установка на урок

(взаимное приветствие, проверка готовности к уроку)

У вас на столах лежат оценочные листы( приложение 1), в которые вы будете вписывать отметки полученные за выполнение заданий. Отметка за урок выставляется как среднее арифметическое с применением правила округления чисел

Человек, который ставит перед собой цель, добивается большего. Сформулируйте цели урока, исходя из темы.

1.3 Вступительное слово учителя.

Сегодня мы продолжим работу по теме « Уравнение окружности и прямой». Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание М . В . Ломоносов а :

» Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»
Алгебра и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было бы изложить весь курс геометрии, используя только числа и алгебраические операции. Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой. Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат. Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией. Сегодня мы поговорим об уравнении окружности и проследим, как алгебра помогает в решении геометрических задач и наоборот.

Актуализация опорных знаний.

Проверка домашнего задания (взаимопроверка)

— Какие возникли у вас вопросы по домашнему заданию?

Учащиеся обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку домашних заданий в парах по ответам на слайде презентации. Выставляют оценки в «Лист самоконтроля».

2.2 Решить устно задачи

1) Окружность задана уравнением (х — I) 2 + у 2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

2) Окружность задана уравнением (х + 1 ) 2 + (у — 2) 2 = 16.

Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс

3) Проходит ли прямая, заданная уравнением 7х-3у-3=0, через точки А (0;-1), В(1;1)?

4) Найдите координаты точек пересечения прямой х+3у-9=0 с осями координат.

1) Решение: Центр О (1; 0) и параллельная оси ОУ прямая х = 1.

2) Решение: Центр А (-1; 2); прямая у = 2 параллельна оси ОХ

3) Решение: Да, нет

Математический диктант с последующей самопроверкой по ответам на слайде презентации.

1.Найдите координаты центра окружности, если АВ — диаметр, А (2; -4),

2. Вычислите радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (12; -5).

3. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки?

4. Как называется хорда, проходящая через центр окружности?

5. Напишите уравнение окружности с центром в точке (-2; 2) и радиусом 13.

О т в е т ы : 1) (-2; 2); 2) 13; 3) окружность; 4) диаметр;5) (х + 2) 2 + ( у — 2) 2 = 169

Основная часть. Решение задач

3.1 Работа у доски

№ 972(а,б,в) ( групповая работа учащихся)

Класс разбивается на 3группы. Каждая группа решает задачу в течение 3 минут. Далее следует презентация выполненной работ.

1.На каком рисунке изображена окружность, заданная уравнением

2.На каком рисунке изображена окружность, уравнение которой имеет вид

Для начала мы с тобой

Крутим только головой. (Вращения головой.)

Корпусом вращаем тоже.

Это мы, конечно, сможем. (Повороты вправо и влево.)

Вверх и в стороны.

Прогнулись. (Потягивания вверх и в стороны.)

От разминки раскраснелись

И за парты вновь уселись

V . Контроль и самопроверка знаний. Самостоятельная работа

1. Окружность проходит через точки и . Напишите уравнение этой окружности, если отрезок является её диаметром.

2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки и .

3. Выясните взаимное расположение окружности, заданной уравнением , и прямой

Проверка самостоятельной работы по ответам на слайде презентации – (самопроверка).

Ответы к задачам самостоятельной работы:

1. , 2., 3. Пересекаются в точках (0;-1) и (6;-1).

VI . Подведение итогов урока

Заполнение таблицы и выставление оценок за урок

— Что выполняли на уроке?

— Как оцениваете свою деятельность на уроке?

— Какие задания вызвали затруднения? Почему?

Домашнее задание: повторить материал пунктов 93-96;

Использование уравнения окружности при решении задач. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемЮлия Девятова

Презентация на тему: » Использование уравнения окружности при решении задач.» — Транскрипт:

1 Использование уравнения окружности при решении задач.

2 План презентации: Цели : узнать, кто такой Аполлоний Пергский; разобрать задачу; с помощью разобранной задачи решить подобную. 1)Аполлоний Пергский. 2)Использование уравнений окружности и прямой при решении задач. 3)986.

3 Аполло́ний Пергский ( πολλώνιος Περγαος, Перге, 262 до н. э. 190 до н. э.) древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь монографией « Конические сечения » (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто « сечениями конуса ». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппл иката. Из других заслуг Аполлония перед наукой отметим, что он переработал астрономическую модель Евдокса, введя эпициклы и эксцентрики для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей. Он также дал решение задачи о построении окружности, касающейся трёх заданных окружностей ( « задача Аполлония » ), изучал спиральные линии, занимался геометрической оптикой. Перге 262 до н. э. 190 до н. э. древнегреческий математик Евклидом Архимедом III веке до н. э. эллипса параболы гиперболы асимптота абсцисса ордината аппл иката Евдокса эпициклы Гиппарх Птолемей задача Аполлония спиральные линии геометрической оптикой

4 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ²-ВМ²=k², где k-данное число. Решение Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а;0), где а=АВ. Найдем расстояния от произвольной точки М(x;у) до точек А и В: АМ= х²+у², ВМ= (х-а)²+у². Если точка М(x;у) принадлежит искомому множеству, то АМ²- ВМ²=k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х²+у²- (х-а)²- у²=k, или 2ах- а²-k=0. Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная ось Оу, если а²+k=0, и сама ось Оу, если а²+k=0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

5 Дано: ABCD. Найти: Множество точек М, для каждой из которых (АМ ² +DM ² )-(BM ² +CM ² )=2AB ² Решение: 1)Введем прямоугольную систему координат так, чтобы AD Ox, AB Oy, А-начало координат, А(0;0), D(а;0), В(0;b), С(а;b), M(х;у). 2)АМ ² =х ² +у ²; DM ² = (а-х) ²+ у ²; ВM ² = х ² +(b-у) ²; СМ ² =(а-х) ² +(b-у) ²; АВ ² =b ², следовательно (х ² +у ²+ (а-х) ² +у ² )-(х ² +(b-у) ² +(а+х) ² +(b-у) ²= 2b ² х ² +у ² +а ²- 2ах+х ² +у ²- х ²- b ² +2by- у ²- а ²+ 2ах — х ²- b ² +2by — у ²= 2b ² — 2b ² +4by = 2b ² ; 4by=4b ². у=b, прямая проходящая через ВС. 986

6 Литература: 1) 2) Геометрия, 7-9: учеб. Для общеобразоват. учреждений. Л. С. Атанясин и др. Просвещение.2006 год.