Уравнение окружности кратко и понятно
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Уравнение окружности.
Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.
В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
,
Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.
Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.
.
Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.
Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .
Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:
В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):
Уравнение окружности
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид
1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).
Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).
По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.
Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.
2. Если пара чисел (xo;yo) удовлетворяет данному уравнению, то
А это значит, что расстояние между точками C(xo;yo) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(xo;yo) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.
Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Окружность и ее уравнения
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.
Построим уравнение окружности. Для этого, согласно определению, зададимся центром окружности и R – радиусом окружности L (рис.1). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать окружности, следовательно, согласно определению, удовлетворять соотношению
. (2)
Запишем это выражение в координатах
.
Окончательно получим уравнение окружности в каноническом виде
. (3)
2.1. Исследование окружности
1. Если , то выражение (3) примет вид .
2. Если , то выражение (3) примет вид .
3. Если , то выражение (3) примет вид .
Приведем уравнение (3) к общему виду (1). Для этого раскроем скобки и умножим обе части равенства на число .
.
Введем обозначения: ; ; . Подставим эти обозначения и получим уравнение окружности в общем виде
. (4)
Признаки окружности:
— коэффициенты при квадратах текущих координат равны;
— отсутствует член, содержащий произведение текущих координат « ».
2.2. Последовательность перехода от общего
к каноническому виду
Для этого разделим все члены уравнения на коэффициент при и выделим полные квадраты с x и y.
Задано уравнение второго порядка: .
Построить кривую согласно.
Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы (=4) и отсутствует член , то можно сказать, что это окружность.
Это окружность (рис. 2) с радиусом R=4 и центром в точке C(1, -1.5).
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Зададим в декартовой системе координат фокусы F1и F2(рис. 3). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать эллипсу. Проведем отрезки F1M и F2M (рис. 3). Согласно определению рассмотрим сумму этих отрезков
, (5)
где – некоторое число.
Обозначим , тогда из или . Фокусы имеют координаты и , причем – эллипс. Представим выражение (1) в координатах:
.
Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:
.
Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:
.
Возведем обе части равенства в квадрат:
.
Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:
,
.
Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные – в левую. Вынесем за скобки x 2 и a 2 :
. (6)
Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (6) через введенные обозначения
, . (7)
Выражение (7) есть уравнение эллипса в каноническом виде.
4. Исследование формы и расположения эллипса
по его каноническому виду
Рассмотрим выражение (7) и заметим следующее.
1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то эллипс симметричен относительно осей координат – осей симметрии.
Если , то и .
Начало координат – центр симметрии. Плоскость, в которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной плоскостью.
2. Эллипс L (7) пересекается с осями координат.
a) Пересечение с осью .
, . Из выражения (7) => . То есть точки и . Эти точки – вершины эллипса. – большая ось эллипса. Отметим эти точки на оси (рис. 4).
б) Пересечение с осью .
, . Из выражения (7) => . То есть, точки и . Две точки и – также вершины эллипса. – малая ось эллипса. Отметим эти точки на оси (рис. 4).
3. Из уравнения (7) найдем y
. (8)
Для I четверти выражение (8) имеет вид . При увеличении x от 0 до a (при x=a y=0) значение y уменьшается от b до 0. Поскольку эллипс симметричен относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, эллипс будет вести себя в остальных четвертях плоскости.
1. В частности, при из (7) имеем , (окружность – частный случай эллипса).
2. Если центр эллипса лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение эллипса примет вид
. (9)
Эксцентриситетом называется величина, равная отношению расстояния между фокусами к длине большой оси.
, . (10)
Чем ближе эксцентриситет к 0 ( ), тем более округлую форму эллипс имеет, и наоборот, чем ближе эксцентриситет к 1 ( ), тем эллипс более вытянут вдоль оси .
Последовательность перехода от общего к каноническому виду для эллипса аналогична последовательности перехода для окружности. Для этого вынесем за скобки коэффициент при и выделим полный квадрат с x . Также вынесем за скобки коэффициент при и выделим полный квадрат с y.
В лекции изучены понятия «окружность» и «эллипс» в общем виде, показано, как строить графики этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой. Отметим:
— параметры R, a и b в выражении (3) определяют соответственно радиус и координаты центра окружности;
— от уравнения общего вида к каноническому переходят путем выделения полных квадратов;
— эксцентриситет эллипса ;
— эксцентриситет эллипса определяет его вытянутость;
— окружность – частный случай эллипса;
— фокусы эллипса могут быть найдены из выражения .
1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. — М.: Высшая школа,1998.
http://epmat.ru/modul-geometriya/urok-5-okruzhnosti/
http://poisk-ru.ru/s55685t5.html