Уравнение окружности с центром в точке примеры

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Уравнения окружности — формулы, общие формы и примеры задач

Уравнение окружности имеет общий вид x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, который можно использовать для определения радиуса и центра окружности.

Уравнение круга, которое вы узнаете ниже, имеет несколько форм. В разных случаях уравнение может быть разным. Поэтому хорошо его поймите, чтобы запомнить наизусть.

Круг — это набор точек, равноудаленных от точки. Координаты этих точек определяются путем составления уравнений. Это определяется на основе длины радиуса и координат центра круга.

Круговые уравнения

Существуют различные виды уравнений, а именно уравнения, составленные из центральной точки и радиуса, и уравнения, которые можно найти для центральной точки и радиуса.

Общее уравнение круга

Вот общее уравнение, как показано ниже:

Исходя из приведенного выше уравнения, можно определить центральную точку и радиус:

В центре P (a, b) и радиуса r

Из круга, если вы знаете центральную точку и радиус, вы получите формулу:

Если вы знаете центральную точку круга и радиус круга, где (a, b) — центр, а r — радиус круга.

Из полученного выше уравнения мы можем определить, лежат ли включая точки на окружности, внутри или снаружи. Чтобы определить местоположение точки, используя подстановку точки в переменных x и y, а затем сравнивая результаты с квадратом радиуса круга.

At с центром O (0,0) и радиусом r

Если центральная точка находится в точке O (0,0), то сделайте замену в предыдущей части, а именно:

Из приведенного выше уравнения можно определить положение точки на окружности.

Вне круга: Также прочтите: Art Is: Определение, Функция, Типы и Примеры [FULL]

Общий вид уравнения можно выразить в следующих формах.

(x — a) 2 + (y — b) 2 = r2, или

X2 + y2 — 2ax — 2by + a2 + b2 — r2 = 0, или

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, где P = -2a, Q = -2b и S = ​​a2 + b2 — r2

Пересечение линий и окружностей

По кругу с уравнением x2 + y2 + Ax + By + C = 0 можно определить, не касается ли линия h с уравнением y = mx + n, не задевает или не пересекает ее, используя принцип дискриминанта.

Подставив уравнение 2 в уравнение 1, вы получите квадратное уравнение, а именно:

Из квадратного уравнения выше, сравнивая значения дискриминантов, можно увидеть, не задевает ли линия / не пересекает, не задевает или не пересекает круг.

Прямая h не пересекает / не задевает круг, поэтому D 0

Уравнения касательных к окружностям

1. Уравнение касательных через точку на окружности.

Касательные к окружности точно соответствуют точке, расположенной на окружности. Из точки пересечения касательной и окружности можно определить уравнение прямой касательной.

Уравнение касательной к окружности, проходящей через точку P (x ₁ , y ₁ ), может быть определено, а именно:

• Форма

Уравнение касательной

• Форма

Уравнение касательной

• Форма

Уравнение касательной

Пример проблемы:

Уравнение касательной через точку (-1,1) на окружности

Знать уравнение круга

где A = -4, B = 6 и C = -12 и x ₁ = -1, y ₁ = 1

Итак, уравнение касательной

2. Касательные уравнения к градиенту

Если прямая с наклоном m касается окружности,

тогда уравнение касательной:

тогда уравнение касательной:

тогда уравнение касательной, заменив r на,

3. Уравнения касательных к точкам вне окружности.

Из точки вне круга можно провести две касательные к окружности.

Читайте также: Демократия: определение, история и типы [FULL]

Для нахождения касательного уравнения используется формула уравнения регулярной прямой, а именно:

Однако из этой формулы значение крутизны прямой неизвестно. Чтобы найти наклон прямой, подставьте уравнение для уравнения круга. Так как прямая является касательной, то из уравнения результат подстановки для значения D = 0, и значение m будет получено

Пример проблем

Пример проблемы 1

Круг имеет центр (2, 3) и имеет диаметр 8 см. Уравнение круга .

Обсуждение:

Поскольку d = 8 означает r = 8/2 = 4, поэтому уравнение для образующейся окружности имеет вид

(x — 2) ² + (y — 3) ² = 42

x² — 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² — 4x — 6y — 3 = 0

Пример проблемы 2

Найдите общее уравнение для круга с центром в точке (5,1), нарушающего прямую 3 x — 4 y + 4 = 0!

Обсуждение:

Если известно, что центр окружности ( a , b ) = (5,1), а касательная к окружности равна 3 x — 4 y + 4 = 0, то радиус окружности определяется следующим образом.

Таким образом, общее уравнение для круга выглядит следующим образом.

Таким образом, общее уравнение для круга с центром в точке (5,1), нарушающего прямую 3 x — 4 y + 4 = 0, имеет вид

Пример проблемы 3

Найдите общее уравнение для круга с центром в точке (-3,4), нарушающего ось Y!

Обсуждение:

Прежде всего, давайте сначала нарисуем график круга, который с центром в (-3,4) и оскорбляет ось Y!

Основываясь на изображении выше, можно увидеть, что центр круга находится в координате (-3,4) с радиусом 3, так что:

Таким образом, общее уравнение с центром в точке (-3,4) и нарушением оси Y имеет вид

В некоторых случаях радиус окружности неизвестен, но известна касательная. Итак, как определить радиус круга? Посмотрите на следующую картинку.

Изображение выше показывает, что касательная к уравнению px + qy + r = 0 относится к окружности с центром в точке C ( a, b ). Радиус можно определить по следующему уравнению. а, б ). Радиус можно определить по следующему уравнению.