Уравнение окружности сферы плоскости в координатах

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Уравнение окружности на координатной плоскости

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ — Тема: Решение задач по теме: «Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Решение задач по теме: «Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками»

— применить умения в использовании теоретических сведений для составления уравнений окружности, сферы, плоскости.

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

I Вариант II Вариант

1. Дан ∆ ABC с вершинами в точках Дан ∆ ABC с вершинами в точках

A (7; 3; -2) A (2; 0; 5)

B (1; 3; 6) B (3; 4; 0)

С (0; 0; -1). C (2; 4; 0).

Найти длину средней линии, Найти длину средней линии,

параллельной AB . параллельный BC .

2. Составить уравнение плоскости, Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку А и проходящей через точку В и

перпендикулярный вектору AB , перпендикулярный вектору AB ,

если А(2; 3; -4), В(-1; 2; 2). если А(-2; 1; 3), В(1; -2; 4).

3. Сфера задана уравнением

( x -1) 2 + y 2 +( z -2) 2 = 9 x 2 +( y +3) 2 +( z -2) 2 = 25

a ) Назовите координаты центра и радиус сферы.

б) Определите, принадлежит ли данной сфере точки:

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

1.Расстояние между точками.

,

AB =

2. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.

Ненулевой вектор n, перпендикулярный плоскости, называют ее нормальным вектором. Если дана точка М(х₀;у₀; z ₀) и нормальный вектор n = (A, B, C) плоскости, то ее уравнение имеет вид A ( x — x ₀ ) + B ( y — y ₀) + C ( z — z ₀)

Равенство выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов n и M ₀ M .

— уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r.

— уравнение окружности с центром в точке и радиусом r.

— уравнение сферы в точке с центром и радиусом R.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Дан ∆АВС с вершинами в точках А(3; -4; 2), В(-5; 6; 7), С(5; -6; 3).

Найти длину средней линии, параллельной АС.

MN — средняя линия

AC =

=

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; -2; 4) и перпендикулярный вектору MN , N (3; 4; 5).

MN=(3-1; 4+2; 5-4); MN=(2; 6; 1); a=2; b=6; c=1.

Сфера задана уравнением

( x +2) 2 +( y -5) 2 + z 2 =16.

а) Назовите координаты центра и радиус сферы.

б) Определите принадлежат ли данной сфере точки: А(-2; 9; 0) и В(1; 3; 2)

а) (-2; 5; 0) – координаты центра.

R = = 4.

(-2+2) 2 +(9-5) 2 +0 2 =16

А принадлежит сфере.

(1+2) 2 +(3-5) 2 +2 2 =16

В не принадлежит 17=16 (неверно).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Записать формулу расстояния между точками.

2. Уравнение плоскости.

3. Уравнение окружности.

4. Уравнение сферы.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

7. Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016.

Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Технологическая карта (план) занятия №72

Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.

Практическая работа №36

Учебная: формировать навыки составления векторного уравнения

прямой, плоскости, окружности и сферы в

пространстве по заданным координатам;

дать понятие нормального вектора к плоскости;

научить применять знания, полученные при изучении

данной темы, для решения задач ;

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность

Развивающая: развивать пространственное и логическое

ф ормировать грамотную математическую речь .

Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами (ОК 4.)

Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста (ОК 5.)

Наглядные пособия: мультимедиа презентация;

Раздаточный материал: таблица канва для заполнения;

Технические средства обучения: ноутбук, проектор;

Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий): 204 аудитория.

Литература: 1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков. 2) Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян, М.: Просвещение

3) Геометрия. 11 класс: поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасяна [и др.]/авт.- сост. Г.И. Ковалева. Волгоград: Учитель, 2015.

-проверка присутствующих на занятии;

-проверка готовности учащихся к занятию;

-формулировка целей занятия.

1. В конце занятия обучающиеся сдают тетради на проверку

2. Заполнить таблицу-канву (предлагается нанести обозначения, вписать формулы на заготовленную таблицу канву по теме прошлого урока)

Изучение нового материала. (стр 81,87, уч(1))

Прямая, параллельная оси Оу , задается уравнением вида х = с . Аналогично, прямая, параллельная оси Ох , задается уравнением вида у = с .

Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные 2 точки , выражаются формулами:

Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :

Задача №1. Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Ответ :

Задача №2. Составить канонические уравнения прямой проходящей по двум точкам:

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Подставим в уравнение координаты точек М ₁ и М ₂ :

Подставим координаты точки в полученные уравнения:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки :

Получены верные равенства.

Уравнение прямой проходящей через 1 данную точку с нормальным вектором :

Определение: Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.

На плоскости дана точка М0(х0, у0, z 0) и вектор .

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М ₀ перпендикулярно вектору.

Рассмотрим еще одну точку прямой

М(х, у, z ), тогда вектор

лежит на данной прямой.

Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальный вектор, выражается формулой:

Задача №3 . В пространстве дана точка М ₀ (2;-3;0) и вектор. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

2. Уравнение плоскости.

Плоскость можно задать одной содержащейся в ней точкой Р ₀ ( и вектором , перпендикулярным этой плоскости (его называют вектором нормали к плоскости). Необходимым и достаточным условием того, что точка Р(х принадлежит плоскости, является следующее равенство: . Задав координаты нормали <А;В;С>, получим уравнение плоскости в координатной форме: А(х-х ₀ )+В(у-у ₀ )+С( z — z ₀ )=0. раскроем скобки и обозначим число (Ах ₀ +Ву ₀ +С z ₀ ) за D .

Получим уравнение плоскости в виде Ах+Ву+С z + D =0

Замечание: Вектор можно умножать на любое число

Задача №4 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору

Задача №5 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: