Окружность в полярных координатах
Уравнение окружности в полярных координатах выглядит очень просто
Это уравнение показывает, что ρ вообще не зависит от угла φ.
Построение окружности по простому уравнению в полярной системе координат
Еще одно уравнение окружности в полярных координатах
Первый пример был очень простым, теперь возьмем окружность смещенную по оси X в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.
Известно, что окружность в декартовой прямоугольной системе координат описывается уравнением:
Используя эти формулы и подставив их в (1) мы получим:
Уравнение окружности в полярных координатах
Изначально после подстановки имеем
И этого уравнения получается система
Первое уравнение системы описывает полюс окружности.
Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.
В итоге получаем:
Построение окружности в полярной системе координат
Теперь сместим окружность по вверх, очередное уравнение окружности в полярных координатах
В данном варианте мы сместим окружность по оси Y в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.
При таком смещении окружность описывается уравнением:
И этого уравнения получается система
Первое уравнение системы описывает полюс окружности.
Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.
Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором
Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Центр окружности
Уравнение окружности
Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:
- общее уравнение окружности
- стандартное уравнение окружности 1
- параметрическое уравнение окружности
- уравнение окружности в полярных координатах
Общее уравнение окружности
Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где
В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.
Стандартное уравнение окружности
Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.
Параметрическое уравнение окружности
Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.
Уравнение окружности в полярных координатах
Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.
Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩
Уравнение окружности
Для расчета уравнения, надо знать определение окружности. Итак, окружность – это множество точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через точку центра, называется диаметром. Отрезок, соединяющий две точки окружности – хорда. Отрезок, соединяющий центр и любую точку окружности – радиус. Радиус равен половине диаметра.
Рассчитывая уравнение окружности, получаем следующие данные:
• координаты точки центра;
• длину радиуса.
И наоборот, зная длину радиуса и координаты точки центра, можно определить координаты любой точки и начертить окружность.
Для чего необходимо рассчитывать уравнение окружности? Зная длину радиуса, который рассчитывается, исходя из данных уравнения, можно определить длину любой окружности и площадь круга по следующим формулам:
• l=2πr, где l – длина окружности, π=3,14
• S=πr2
Следует помнить, круг – это множество точек на плоскости координат, расположенных внутри окружности. Оптимальный способ рассчитать уравнение окружности – воспользоваться онлайн калькулятором. Это ускорит процесс и позволит быстро решить задачи по соответствующим формулам.
http://planetcalc.ru/8115/
http://allcalc.ru/node/847