Окружность в комплексной плоскости как задается уравнением
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось |
Прямоугольная декартова система координат на плоскости |
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости |
Уравнение окружности на координатной плоскости |
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . | (1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Электронная библиотека
Областью в комплексной плоскости называется множество D точек этой плоскости, обладающее свойствами:
1) открытости – вместе с точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малая окрестность с центром в этой точке;
2) связности – любые две точки D можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек D.
Примером области могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под e-окрестностью точки z0 понимают открытый круг радиуса e с центром в этой точке: |z – z0| 2 + (y – 1) 2 = e 2 – окружность радиуса e с центром в точке х = 0, у = 1 комплексной плоскости.
Область с присоединенной к ней границей называют замкнутой и обозначают D. Будем в дальнейшем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов (дуг) и точек. Линии и разрезы, входящие в состав границы будем предполагать всегда кусочно-гладкими.
Область называется односвязной, если граница состоит из одной связной линии. Область называется многосвязной, если граница области состоит из нескольких связных частей, например: двухсвязной, трехсвязной и т.д. – по числу не связных между собой частей границы. На рис. 2.2,б – пример двухсвязной области.
Обход односвязной области считается положительным, если она остается по левую руку (контур обходится против хода часовой стрелки). На рис. 2.2,б сделан разрез l, а обход области изображен положительным (область в результате разреза стала односвязной).
Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или неограниченной, односвязной или многосвязной.
а) поэтому получим: . Область (рис. 2.3) – замкнутая, ограниченная, односвязная.
б) и – лучи, выходящие из начала координат (рис. 2.4). Все точки, удовлетворяющие неравенству б) лежат внутри угла, образованного этими лучами, и на сторонах этого угла. Следовательно, область замкнутая, неограниченная, односвязная.
Неравенство означает, что расстояние каждой точки z от точки больше 1, но меньше 2. Поэтому областью есть кольцо (его внутренность), ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке . Область – открытая, ограниченная, двухсвязная (рис. 2.5).
г) Неравенство равносильно или
или, возведя в квадрат обе части, получим:
х 2 + у 2 – 2у + 1 2 + у 2 + 2у + 1.
Отсюда: – верхняя полуплоскость (рис.
Вывод: область у>0 – открытая, неограниченная, односвязная (рис. 2.4).
Определение. Кривая называется непрерывной, если она может быть задана параметрическими уравнениями:
в которых – непрерывные функции на отрезке .
Например, окружность ; дуга окружности
; дуга параболы – непрерывные кривые; гипербола не является непрерывной, так как функции эти при и имеют точки разрыва.
С помощью комплексного переменного параметрические уравнения кривой (2.18) можно записать в виде одного уравнения:
Например, уравнение эллипса с полуосями a и b можно записать:
уравнение окружности радиуса R
уравнение окружности с центром в точке запишется так:
Задачи для упражнений
1) Построить в комплексной плоскости линии, точки которых удовлетворяют уравнениям:
а) б) в) г) д) е) ж) ; з)
2) Построить на комплексной плоскости z области, заданные условиями:
Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или нет, односвязной или многосвязной.
3) Какие кривые определяются следующими уравнениями:
Ответы: а) б) в) г) д)
Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
http://libraryno.ru/2-2-1-oblast-i-krivaya-v-kopleksnoy-ploskosti-spec_gl_vm/