Окружность
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
Определения связанные с окружностью
Хорда: отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр: хорда, проходящая через центр окружности. Диаметром окружности также называют длину этой хорды.
Пи ( ): Число 3, 141 592 653 589 793 . , равное отношению длины окружности к диаметру.
Радиус: отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой (а так же длина этого отрезка).
Сектор круга: фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую они опираются.
Касательная к окружности: прямая, перпендикулярная радиусу окружности, проведенная в точку касания.
Диаметр = 2 x радиус окружности
Длина окружности = x диаметр = 2 x радиус
Площадь круга :
площадь = r 2
Длина дуги окружности: (с центральным углом )
если выражен в градусах, то длина = x ( /180) x r
если выражен в радианах, то длина = r x
Площадь сектора окружности: (с центральным углом q )
если выражен в градусах, то площадь = ( /360) x r 2
если выражен в радианах, то площадь = ( /2) x r 2
Уравнение окружности: (в декартовых координатах)
для окружности с центром в точке (x0, y 0 ) и радиусом ( r ):
Уравнение окружности: (в полярных координатах)
для окружности с центром в точке (0, 0): r ( ) = радиус
для окружности с центром с полярными координатами: ( c , a ) и радиусом a :
r 2 — 2 cr cos ( — a ) + c 2 = a 2
Окружность в полярных координатах
Уравнение окружности в полярных координатах выглядит очень просто
Это уравнение показывает, что ρ вообще не зависит от угла φ.
Построение окружности по простому уравнению в полярной системе координат
Еще одно уравнение окружности в полярных координатах
Первый пример был очень простым, теперь возьмем окружность смещенную по оси X в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.
Известно, что окружность в декартовой прямоугольной системе координат описывается уравнением:
Используя эти формулы и подставив их в (1) мы получим:
Уравнение окружности в полярных координатах
Изначально после подстановки имеем
И этого уравнения получается система
Первое уравнение системы описывает полюс окружности.
Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.
В итоге получаем:
Построение окружности в полярной системе координат
Теперь сместим окружность по вверх, очередное уравнение окружности в полярных координатах
В данном варианте мы сместим окружность по оси Y в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.
При таком смещении окружность описывается уравнением:
И этого уравнения получается система
Первое уравнение системы описывает полюс окружности.
Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.
Уравнение окружности в полярной системе координат.
Определим уравнение окружности, проходящей через полюс системы координат, центр которой C расположен на полярной оси, а радиус равен R. Выполним построения:
Далее отметим на окружности любую точку А и В, причем точка В — конец диаметра. Соединим выбранную пару точек. Угол ОАВ — прямой, а потому, так как диаметр равен 2R, из прямоугольного треугольника АОВ имеем:
Если же центр является началом координат, то уравнение принимает вид:
Так же уравнение может принимать вид:
Для ситуации, когда центр окружности расположен на прямой перпендикулярной полярной оси и проходящей через полюс:
http://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5/%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0%D1%85/
http://www.calc.ru/Uravneniye-Okruzhnosti-V-Polyarnoy-Sisteme-Koordinat.html