Уравнение окружности в уравнениях и неравенствах

Неравенство круга

Решите систему неравенств

Решение:

Данную систему можно записать следующим образом:

Первое неравенство системы задает круг радиуса 5 с центром в точке А(2; -1), второе неравенство — круг радиуса 5 с центром в точке В(-4; 7) (смотри рисунок). Расстояние между центрами этих кругов равно

и, следовательно, равно сумме их радиусов. Значит, круги касаются и координаты точки касания С — единственное решение данной системы неравенств. Точка касания С является серединой отрезка АВ, и ее координаты можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат точек А и В, то есть С(-1; 3).

Иные задачи с уравнениями и неравенствами кругов и окружностей здесь.

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

ГБОУ СОШ № 000 с углубленным изучением английского языка Адмиралтейского района Санкт-Петербурга

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Тригонометрические неравенства одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. При решении простейших тригонометрических неравенств удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и верно записать множества решений данного неравенства.

Цель данной разработки — сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг при решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x a, cosx , называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство — это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Тригонометрические неравенства можно решать с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x или с помощью единичной окружности.

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin xa, sin xa, sin x

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x ).

Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xa, sin xa, sin x

На единичной окружности проводим прямую y = , которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше , все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших , но меньших , sin x будет принимать значения больше (но не больше единицы).

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале , т. е. a, cos xa, cos xa, cos x

Исследовательская работа «Красота математического языка в уравнениях окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Окружность.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Улан-Баторский филиал ФГБОУ «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова» «Красота математического языка в уравнениях окружности» (по заданиям №18 и №19 ЕГЭ профильного уровня) Автор: Сээсрэгдорж Авидмаа, ученица 10 «В» класса Руководитель: Цыбикова Д.С., учитель математики Улан-Батор 2017 г.

Красота математики — это восприятие математики, как объекта эстетического наслаждения, схожего с музыкой и поэзией. (Википедия) «Математика – царица всех наук. Её возлюбленный – истина, её наряд – простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому охотнику приходится пробираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей», (Ян Снядецкий, астроном, математик и философ)

Уравнения окружности в «чистом» виде Уравнения окружности, полученные выделением квадрата двучлена Уравнения, задающие части окружности Уравнения окружности с модулями Уравнения окружности с параметрами Неравенства круга и его частей

Цель работы: Показать красоту математического языка в уравнениях окружности, содержащихся в заданиях с модулями и параметрами Задачи: 1.Разобрать задачи №18 и №19 ЕГЭ профильного уровня – задачи, содержащие уравнения, системы уравнений, неравенств, задающих окружность, круг и их части 2.Систематизировать задачи по видам 3.Построить графики уравнений, систем уравнений, неравенств, задающих окружность, круг и их части. Объект исследования: Задачи с параметрами и модулями Предмет исследования: Задачи с параметрами и модулями, содержащие уравнения, системы уравнений, неравенств, задающих окружность, круг и их части. Методы исследования: Анализ Систематизация Практические методы

«Окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете геометрию, но и возвысите душу свою…» (Шарыгин Игорь Федорович) «Математика, при правильном на нее взгляде, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобно скульптуре, …утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшему искусству» (Бертран Рассел)

Редактор формул Microsoft Equation 3.0. – ввод математических формул Редактор построения графиков — http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php Инструменты

Окру́жность — это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой. Уравнение окружности ω(A; R): (x–х0)2+(y–у0)2=R2, где х0 и у0 – координаты центра A окружности ω (A; R). Круг — геометрическое место точек плоскости (всех таких точек), расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Неравенство «открытого» круга ω(A; R): (x–х0)2+(y–у0)2

Выбранный для просмотра документ красота математического языка в уравнениях окружности.doc

Улан-Баторский филиал Российского экономического университета

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция: Естественные и точные науки

Тема: Красота математического языка в уравнениях окружности

(по заданиям №18 и №19 ЕГЭ профильного уровня)

Автор: Сээсрэгдорж Авидмаа

Научный руководитель: Цыбикова Дарима Содномовна

Место выполнения работы: Улан-Баторский филиал РЭУ им.Г.В.Плеханова

О красоте математики

Уравнения окружности в заданиях №18 ЕГЭ профильного уровня

Уравнение окружности, выделением квадрата двучлена

Уравнения частей окружности

Уравнения окружности с модулем

Уравнение окружности с параметром

3.5.1. Параметр в координатах центра окружности

3.5.2.Параметр в радиусе окружности

Неравенства круга и его частей

Неравенства круга в заданиях №19 профильного уровня

Красота математики — это восприятие математики, как объекта эстетического наслаждения, схожего с музыкой и поэзией. (Википедия)

Я – ученица 10 класса, в следующем году буду сдавать экзамены, в том числе и экзамен по математике. При подготовке к экзаменам я столкнулась со сложными задачами – задачами с модулями и параметрами. При пристальном рассмотрении выделилась группа задач, в которых содержатся уравнения окружности и дуг, неравенства круга и его частей. Функционально-графическое решение этих заданий облегчает решение некоторых из них. Анализ уравнений и систем, задающих окружности и ее части, позволил выделить следующие виды:

Уравнения окружности в «чистом» виде

Уравнения окружности, полученные выделением квадрата двучлена

Уравнения, задающие части окружности

Уравнения окружности с модулями

Уравнения окружности с параметрами

Неравенства круга и его частей

И эти уравнения (неравенства) и их графическая интерпретация – это красивое отображение математики, математического языка.

Цель работы : Показать красоту математического языка в уравнениях окружности, содержащихся в заданиях с модулями и параметрами

1.Разобрать задачи №18 и №19 ЕГЭ профильного уровня – задачи, содержащие уравнения, системы уравнений, неравенств, задающих окружность, круг и их части

2.Систематизировать задачи по видам

3.Построить графики уравнений, систем уравнений, неравенств, задающих окружность, круг и их части.

Объект исследования: Задачи с параметрами и модулями

Предмет исследования: Задачи с параметрами и модулями, содержащие уравнения, системы уравнений, неравенств, задающих окружность, круг и их части.

О красоте математики

«Математика, при правильном на нее взгляде, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобно скульптуре, …утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшему искусству» — эти слова Бертрана Рассела, английского математика и философа конца 19 –го и начала 20 века можно продолжить словами философа 20 века Волошинова Александра Викторовича « Математика во все времена была и остаётся «первой красавицей» среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике».

Полностью соглашаясь со словами нашего современника Шарыгина Игоря Федоровича, что «окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете геометрию, но и возвысите душу свою…» и понимая, что «математика – царица всех наук. Её возлюбленный – истина, её наряд – простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому охотнику приходится пробираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей», (Ян Снядецкий, астроном, математик и философ) приглашаю посетить живописную «галерею» окружностей, ее частей, совокупностей окружностей, круга и его частей, и не менее красивых уравнений и неравенств, которые их задают.

Экскурсия начинается с краткой информации обо всей экспозиции на разных «этажах музея».

Окру́жность — это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности . Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность ) является точкой, иногда этот случай исключается из определения.

Уравнение окружности ω( A ; R ) имеет вид ( x – х ₀ ) 2 +( y – у ₀ ) 2 = R 2 , где х ₀ и у ₀ – координаты центра A окружности ω ( A ; R ) .

Круг — геометрическое место точек плоскости (всех таких точек), расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.

Неравенство «открытого» круга ω( A ; R ) имеет вид ( x – х ₀ ) 2 +( y – у ₀ ) 2 R 2 , где х ₀ и у ₀ – координаты центра A окружности ω ( A ; R ) .

Неравенство «замкнутого» круга ω( A ; R ) имеет вид ( x – х ₀ ) 2 +( y – у ₀ ) 2 ≤ R 2 , где х ₀ и у ₀ – координаты центра A окружности ω ( A ; R ) .

«Коллекция» уравнений и неравенств, задающих окружность и ее части в заданиях №18 ЕГЭ профильного уровня расположена на «первом этаже» нашей импровизированной галереи.

3.1. Первая «коллекция» — уравнения окружностей без параметров, без модулей .

Они – как картины, написанные карандашом детской рукой.

1.Уравнение задает окружность с центром в точке (3;6) и радиусом равным 5.

2.Уравнение задает окружность .

3.Уравнение задает окружность .

4.Уравнение задает окружность

3.2.Вторая «коллекция» — уравнения, задающие дуги окружности.

На этих картинах художник уже пытается показать тени и полутени.

1.Уравнение задает открытую верхнюю полуокружность с центром в начале координат радиуса равного 1 и с «выколотой» точкой (0;1)

2.Уравнение задает открытую правую полуокружность с центром в начале координат радиуса равного 1 и с «выколотой» точкой (1;0)

3.Уравнение равносильно системе уравнений , задающих полуокружность и пучок прямых, проходящих через точку (2;3)

4.Уравнение задает полуокружность с центром в точке (3;3), радиусом равным 4 и расположенную выше прямой

5.Уравнение задает открытую дугу окружности _.

6.Уравнение задает две открытые дуги окружностей

7.Уравнение задает совокупность открытой дуги и открытого луча

_.

3.3.Третья «коллекция» — уравнения с модулями.

Они обязательно задают «двойственность» окружности.

3.3.1.Четвертая «коллекция» — уравнения, задающие совокупность окружностей .

1.Уравнение задает совокупность двух окружностей расположенных в первой и второй четвертях:

2. Уравнение задает совокупность двух окружностей расположенных в первой и четвертой четвертях:

3. Уравнение задает совокупность четырех окружностей расположенных в каждой из четвертей:

3.3.2.Уравнения, задающие совокупность дуг окружности и других геометрических фигур

1.Уравнение задает совокупность двух дуг: одна расположена выше прямой , а вторая — ниже этой прямой:

2.Уравнение задает совокупность двух дуг: одна расположена во внутренней области окружности , а другая – во внешней области этой окружности: _.

3.Уравнение задает две полуокружности:

_.

4.Уравнение задает совокупность левой полуокружности и луча:

.

5.Уравнение задает совокупность нижней полуокружности и луча:

6.Уравнение задает совокупность двух дуг окружности с четырьмя лучами:

7. Уравнение

задает дугу окружности с двумя лучами:

_.

8.Уравнение задает совокупность двух дуг с четырьмя лучами.

3.4.Четвертая «коллекция» — уравнения с параметрами.

Эти уравнения показывают «изменчивость» окружности в зависимости от параметра а.

3.4.1.Уравнения окружности с параметром в координатах центра окружности.

1.Уравнение задает окружность с центром «бегающим» по оси абсцисс.

2.Уравнение задает окружность с центром «бегающим» по прямой.

3.Уравнение задает полуокружность с центром «бегающим» по прямой , и расположенную выше прямой

4.Уравнение задает единичную окружность

с центром «бегающим» по прямой .

3.4.2.Уравнения окружности с параметром в радиусе.

1.Уравнение задает окружность _,

размеры которой зависят от параметра а. При а=0 окружность «вырождается»

в точку (0; _.

2.Уравнение задает окружность , размеры которой зависят от параметра а . При а=0 окружность «вырождается» в точку (-6;0).

3.Уравнениезадает две концентрические окружности радиуса 1 и

_{4.Уравнение задает полуокружность , центр которой расположен на прямой у= х и радиусом равным 4.}

5.Уравнениезадает совокупность двух концентрических окружностей радиуса 1 и

_{3.4.3 Уравнения окружности с параметром и в координатах центра окружности и в радиусе окружности}

1.Уравнение при задает окружность с центром «бегающим» по прямой и радиусом , при уравнение задает точку (-2;-4).

2.Уравнение задает окружность

с центром на прямой. При окружность «вырождается» в точку (1;-1).

3.Уравнение задает окружность . При «вырождается» в точку(1;0).

3.5. Пятая «коллекция» — неравенства круга

1. Неравенство задает совокупность двух кругов

.

При b =0 круги «вырождаются» в точки, при совокупность задает части кругов,

при круги касаются, присовокупность задает два «самостоятельных» круга.

2.Система задает два круга, размеры которых зависят от параметра а.

.

При а=0 первый круг вырождается в точку (3;2), второй — при а=-0,5 вырождается в точку (-5;4)

Особая «коллекция» – неравенства круга в заданиях №19 профильного уровня.

задает пересечение двух «открытых» кругов

Система задает часть «открытого» круга , расположенную ниже прямой у=-0,5 х +3,75.

Задачи №18 и №19 ЕГЭ профильного уровня, содержащие уравнения окружности и графическая интерпретация.

На «втором этаже» нашей импровизированной галереи расположены задания с параметрами и с модулями, дана графическая интерпретация этих заданий.

Задания с модулями.

Най­ди­те все зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­нений имеет более двух ре­ше­ний.

Най­ди­те все зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

Най­ди­те все зна­че­ния а , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Найдите все значения a , при которых система имеет ровно или два корня.

Най­ди­те все зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Найти значения параметра а , при каждом из которых система имеет более одного решения.

Задания, задающие дуги окружности

Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система имеет ровно одно решение.

Первое уравнение системы задает открытую дугу и открытый луч

Задачи с параметрами

При каком наибольшем значении параметра а система уравнений имеет единственное решение

_{Первое уравнение задает окружность} с радиусом равным 1 и центром «бегающим» по прямой у=-3 в зависимости от параметра а

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Окружность с радиусом равным 2 и центром «бегающим» по прямой у=х в зависимости от параметра а

Найдите все значения а , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

окружность с радиусом равным 5 и центром «бегающим» по прямой х=-2 в зависимости от параметра а

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра си­сте­ма

имеет ре­ше­ния?

окружность с радиусом равным 1 и центром «бегающим» по прямой х=1 в зависимости от параметра а

Найдите все значения а , при которых система уравнений имеет ровно три решения?

_{Второе уравнение задает окружность}

_{с радиусом равным 5 и центром «бегающим» по оси абсцисс.}

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а , при каж­дом из ко­то­рых си­стема

имеет ровно 4 ре­ше­ния.

Окружность с центром в т.(-6;0) радиусом равным . Размеры окружности увеличиваются в зависимости от параметра а .

При a =0 окружность вырождается в точку (-6;0)

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

Окружность с центром в т.(3;0) радиусом равным . Размеры окружности увеличиваются в зависимости от параметра а .

При a =0 окружность вырождается в точку (3;0)

Най­ди­те все зна­че­ния а , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Первое уравнение задает окружность, а второе уравнение задает точку (0;-1)

Найдите все значения a , при каждом из которых множество точек ( x ; y ), удовлетворяющих

условию будут иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением

_{Система задает равносторонний треугольник со стороной равной 4.}

_{Уравнение задает окружность}

_{с центром в точке (0; ) и радиусом равным .}

_{Условию задания соответствуют вписанная и описанная окружности.}

_{Следующая совокупность задает условия системы:}

Системы уравнений с параметрами, задающими окружности

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Второе уравнение задает окружности с центром «бегающими» по прямой х =-3 и радиусом равным .

При а =-1 окружность вырождается в точку (-3;-1).

При увеличении значения , размеры окружности увеличиваются.

Найдите все значения а , при каждом из которых система

имеет ровно три решения.

Первое уравнение задает две окружности

Второе уравнение задает окружность с центром в точке (9;2) размеры которой от параметра а.

Условию системы соответствуют два случая.

Най­ди­те все зна­че­ния а , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Система задает две полуокружности

,

центры которых лежат на прямой у=х,

с радиусами равными 4.

Вторая окружность «бегает» по прямой у=х в зависимости от параметра а.

Найдите все значения а , при каждом из которых система не равенств

имеет ровно одно решение

Первое неравенствозадает круг с центром в точке (3;2) и радиусом равным , размеры круга увеличиваются в зависимости от параметра а. При а=0 круг вырождается в точку (3;2)

Второе неравенство задает круг с центром в точке (-5;4) и радиусом равным .

При а =-0,5 круг вырождается в точку (-5;4)

Найдите все значения а , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

Второе уравнение задает совокупность двух окружностей

.

При а =0 первая окружность вырождается в точку.

При >1, размеры первой окружности больше,

при а =1 окружности совпадают,

Найдите все а , при каждом из которых неравенство

имеет ровно четыре целочисленных решения ( x ; у ).

Неравенство задает кольцо, расположенное между концентрическими окружностями

Задания №19 ЕГЭ профильного уровня

Найти все пары целых чисел (х;у), удовлетворяющих системе

Система задает пересечение двух «открытых» кругов

Найти все пары целых чисел (х;у), удовлетворяющих системе

Система задает часть «открытого» круга , расположенную ниже прямой у=-0,5 х +3,75.

Проделанная работа еще раз подтвердила слова великих математиков о красоте математики, в частности, о красоте математического языка и окружности – «души геометрии».

Как обнаружили нейробиологи Великобритании, просмотр красивых, с точки зрения математиков, формул вызывает отклик в префронтальной коре головного мозга, отвечающей за сложные когнитивные функции и эмоции. Ученые пришли к выводу, что восприятие красоты математики очень похоже на ощущение, возникающее во время прослушивания музыки или просмотра произведений живописи. Я думаю, что если на задачи с параметрами и модулями — одни из самых сложных в ЕГЭ, смотреть еще и с точки зрения красоты, они будут более решаемы.

Моя работа имеет практическую значимость, так как по результатам исследовательской работы будет выпущен сборник с заданиями №18 ЕГЭ профильного уровня с функционально-графическим решением, который будет помогать выпускникам при подготовке к ЕГЭ.

http://alexlarin.net/ — сайт Александра Ларина (подготовка к ЕГЭ)

http://fipi.ru/ — сайт Федерального института педагогических измерений (ФИПИ)

Волошинов А.В. ‘Математика и искусство’ — Москва: Просвещение, 1992 — с.335