Уравнение окружности вписанной в треугольник координата

Уравнение окружности вписанной в треугольник координата

Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, стороны которого лежат на прямых x = 0, y = 0 и 3x + 4y — 12 = 0.

найдем координаты вершин треугольника, решив следующие системы уравнений:

Этот треугольник прямоугольный, так как прямые x = 0 и y = 0 перпендикулярны. Пусть r — радиус вписанной окружности в треугольник, S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника. Тогда

и .

Так как окружность касается прямых x = 0 и y = 0, то координаты центра окружности — (r; r) или (1; 1).

Итак, искомое уравнение окружности (x — 1) 2 + (y — 1) 2 = 1.

Окружность, вписанная в треугольник

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.

Окружность в треугольнике

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Пример

В приведенном ниже примере, O является центров окружности.

Метод расчета центра окружности вписанного в треугольник

Даны точки вершин треугольника A(5,7), B(6,6) и C(2,-2). Итак, нам известны координаты точек вершин треугольника x1,y1, x2,y2 и x3,y3.
Для нахождения точки центра вписанной окружности необходимо найти уравнение биссектрисы.

Шаг 1 :

Давайте рассчитаем средние точки всех сторон треугольника AB, BC и CA заданных координатами x и y

• Средняя точка стороны = x1+x2/2, y1+y2/2
• Средняя точка AB = 5+6/2, 7+6/2 = (11/2, 13/2)
• Средняя точка BC = 6+2/2, 6-2/2 = (4, 2)
• Средняя точка CA = 2+5/2, -2+7/2 = (7/2, 5/2)

Шаг 2 :

Далее, найдем углы сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Пожалуйста, обратите внимание, что угол обозначается буквой ‘m’.

• Угол AB (m) = 6-7/6-5 = -1.
• Угол BC (m) = -2-6/2-6 = 2.
• Угол CA (m) = 7+2/5-2 = 3.

Шаг 3 :

Теперь, давайте вычислить угол биссектрисы сторон AB, BC и CA.

• Угол биссектрисы = -1/угол линии (стороны).
• Угол биссектрисы стороны AB = -1/-1 = 1
• Угол биссектрисы стороны BC = -1/2
• Угол биссектрисы стороны CA = -1/3

Шаг 4 :

После того, как мы находим угол перпендикулярных линий, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис с углом и серединой. Уравнение перпендикуляра АВ с серединами (11/2, 13/2) и углом 1.

Уравнение центра окружности y-y1 = m(x-x1)

Упростив, мы получим уравнение -x + y = 1

Кроме того, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис линий BE и CF.

Для BC с средней точкой (4,2) и углом -1/2 y-2 = -1/2(x-4)

Упростив, мы получим уравнение x + 2y = 8

Для CA с средней точкой (7/2,5/2) и углом -1/3 y-5/2 = -1/3(x-7/2)

Упростив, мы получим уравнение x + 3y = 11

Шаг 5 :

Найдем значения x и y решив любые 2 из указанных 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y равны (2,3) которые являются координатами центра (o) вписанной окружности в треугольник.