Решение задач по теме: «Уравнение окружностей»
Разделы: Математика
За неделю до проведения урока класс делится на четыре группы. Каждая готовит презентацию, отражающую название команды.
1. Образовательные:
2. Развивающие:
3. Воспитательные:
Ход урока
I. Организационный момент.
В начале урока выдается командам оценочный лист ( Приложение 1 ) с целью самостоятельной оценки учащимися степени участия каждого члена команды в подготовке к уроку и его проведении.
Рассказываются правила урока. За каждое правильное решение команде выдается лепесток определенного цвета:
все ответы верные – красный;
одна ошибка – зеленый;
две ошибки – жёлтый.
Лепестки крепятся на магнитную доску, образуя цветок.
Итоговая оценка выставляется с учетом этого бланка, а также учитывается количество и цвет набранных командой лепестков в цветке на доске.
2. Знакомство с командами (представление презентаций, Приложение 2 ).
3. Актуализация знаний учащихся.
– На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач МЕТОДОМ КООРДИНАТ.
Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.
Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат
Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый “Аналитической геометрией”.
Сегодня я предлагаю еще раз поговорить об уравнении окружности и проследить, как алгебра помогает в решении геометрических задач.
4. Разминка.
– На доске записан ряд уравнений. Какие фигуры они задают?
Команды получают карточки с заданием. Время обдумывания 2мин.
По истечению времени идет опрос команд по очереди.
1 | 7. |
2. | 8. |
3. | 9. |
4. | 10. |
5. | 11. |
6. | 12. |
Последнее уравнение вызывает сомнения т.к. ранее не встречалось в таком виде.
Учитель показывает как, выделив полный квадрат, получить уравнение окружности.
Оценить результат работы команд.
Выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. Если нет, то почему?
Каждая из команд получают свою карточку. Время 7 минут.
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
1. | 1. |
2 | 2 |
3 | 3 |
Последние уравнение в каждой карточке не задает окружность, и учащиеся поясняют почему. Оценить ответы.
1. Как могут взаимораспологаться две окружности? Дается время(3 мин.). Предлогается ребятам нарисовать различные варианты на ватмане и показать рисунки. После демонстрации и обсуждения всевозможных вариантов Предлогается следующая задача.
2. Как взаиморасположены линии заданные уравнениями?
и
Изобразите ответ на обратной стороне ватмана (на нем, заранее, нанесена система координат.)
Ответ:
O
Значит: первая внутри второй.
Результат этого задания оценивается следующим образом:
Команда, выполнившая первая – красный; вторая – зеленый; третья – желтый
После подведения итогов предлагается задача общая для всех команд.
Командам выдается карточка с кратким описанием условия. Текст задачи зачитывается.
Окружность задана уравнением .
Точка с координатами (5;4) является центром другой окружности касающейся первой внешним образом. Напишите уравнение этой окружности.
Вопросы для обсуждения:
-Поможет ли рисунок в решении задачи?
-Что можно узнать из уравнения первой окружности?
-Что надо знать, чтобы записать уравнение второй окружности?
-Как можно узнать радиус второй окружности?
Ответ:
Перед следующим заданием полезно повторить:
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Что значит, точка принадлежит графику уравнения?
Что необходимо знать для написания уравнения окружности?
Написать уравнение окружности описанной около треугольника с заданными координатами вершин.
Какие, алгебраические, приемы могут быть использованы для решения поставленной задачи? (составление систем уравнений и приемы их решения).
3. С (3;-7) | 4. В (1;-4) |
Д (8;-2) | К (4;5) |
К (6;2) | Д (3;-2) |
1. | 2. |
3. | 4. |
Следующую задачу решает учитель.
Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?
Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)
Решение получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.
Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.
1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1
Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.
Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)
Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.
Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:
Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.
Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.
Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k1 получим уравнение окружности в виде
.
Такая окружность называется окружностью Апполония.
Подводится итог урока. Выставляются оценки.
Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»
В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»
Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :
А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49
Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36
Ответ : О (-7; -1); R= 6
В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81
Ответ : О (6; -15); R= 9
Ответ : О (0; 9); R= V͞2
Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :
В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11
Задание № 2 ( проверка)
Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,
если А( -4; 7), В ( 2; 5 )
Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,
если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)
Составьте уравнение окружности с центром в точке
А(-4; 2), которая касается оси ординат.
Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.
Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:
А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;
Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением
Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек
А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.
Уравнение окружности.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.
Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2
Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3
Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.
Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3
Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно
Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.
http://multiurok.ru/files/rieshieniie-zadach-po-tiemie-uravnieniie-okruzhn-1.html
http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0552/