Уравнение окружности загадочная формула доклад

Урок по теме «Уравнение окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Учитель: Позднякова Ольга Вячеславовна.

Урок «Уравнение окружности».

УМК: геометрия 7-9 класс Л.С. Атанасян и другие.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Образовательные: Вывести уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи, как одну из возможностей применения метода координат.

— распознавать уравнение окружности по предложенному уравнению;

— составлять уравнение окружности по готовому чертежу;

— строить окружности по заданному уравнению.

Воспитательные: формирование критического мышления и навыков работы в группе.

Развивающие: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умения действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Оборудование: пк, мультимедийный проектор, экран.

Организационный момент. Проверка домашнего задания. Вступительное слово учителя.

Учитель: Добрый день, ребята! Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим домашнее задание. (Вызываю заранее ученика на перемене, чтобы он записал решение задания на доске)

Учитель: Итак, ребята. Тема нашего урока «Уравнение окружности»

Цели нашего урока: Вместе вывести уравнение окружности и научиться:

-распознавать уравнение окружности по предложенному уравнению;

— составлять уравнение окружности по готовому чертежу;

— строить окружности по заданному уравнению.

Учитель: Но прежде чем приступить к теме нашего урока, давайте, ребята, вспомним материал, который изучили на прошлых уроках.

3 слайд 4 слайд

( Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Прямая, гипербола, парабола.)

Учитель: Я вас попросила повторить некоторые определения из темы «Окружность», изученной в 7 классе. 6 слайд

( Окружностью называется множество точек, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки. Причём, заданная точка – это центр окружности, а заданное расстояние – это радиус окружности.

Отрезок, соединяющий центр окружности с произвольной точкой на окружности называется радиусом окружности. Все радиусы окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр называется диаметром окружности. Диаметр равен двум радиусам .)

Учитель: Давайте устно решим задачи.

Задача №1. Слайд 7. Задача №2. Слайд 8.

Задача №3. Слайд 9.

Вывод формулы уравнения окружности.

Учитель: Мы с вами вспомнили определение уравнения линии, решили задачи, связанные с окружностью. Но окружность – это тоже линия, а её уравнение мы пока не знаем. Давайте вместе попробуем вывести уравнение окружности.

Слайды 10,11. Вспомогательные вопросы:

— Как найти расстояние СМ?

— Что можно сказать об отрезке СМ?

Учитель: Возьмите тетради. Начертите окружность и запишите уравнение окружности. Я приведу пример: Слайд 12

Учитель: Попробуйте самостоятельно вывести уравнение окружности с центром в начале координат. Проверка с помощью слайда 13.

Приведу пример: Слайд 14.

Учитель: Так, ребята. Что необходимо знать для составления уравнения окружности? Составьте алгоритм составления уравнения окружности.

Слайд 16. Слайд 17.

Работа в группах.

Я разделила класс на три группы. Каждой группе дала задание, в зависимости от способности группы. Слайды 18,19,20.

Проверка заданий осуществляется с помощью слайдов 21-26

Учитель: Итак, ребята. Сегодня мы с вами вывели уравнение окружности, научились составлять уравнение окружности по заданному чертежу, научились стоить окружности по заданному уравнению.

Если останется время, то можно разобрать №967.

Домашнее задание:№959(а,б,в), 960(а,б), 961, 966

Краткое описание документа:

Данный урок — конспект урока к моей презентации «Уравнение окружности».Это урок -урок изучения нового материала. Используемые технологии : технология дифференцируемого обучения, групповые технологии, компьютерные технологии и технология проблемного обучения. Урок содержит теоретический опрос, три устные, подводящие к доказательству теоремы, задачи, вывод формулы, первичное закрепление и самостоятельную работу трёх уровней сложности.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 642 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

§ 3. Уравнения окружности и прямой

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 16.08.2018
• 793
• 10

• 16.08.2018
• 391
• 1

• 16.08.2018
• 422
• 0

• 16.08.2018
• 644
• 0

• 16.08.2018
• 524
• 0

• 16.08.2018
• 371
• 0

• 15.08.2018
• 3742
• 91

• 15.08.2018
• 815
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.08.2018 1223
• DOCX 2.9 мбайт
• 12 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Позднякова Ольга Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 37408
• Всего материалов: 22

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Уравнение окружности загадочная формула доклад

1. Уравнение окружности.
2. Исторические данные.
3. Повторение пройденного материала.

Уравнение окружности

Самым простым из способов, представляющих уравнения окружности, является теорема Пифагора.

Вы уже знаете, что теорема Пифагора имеет как геометрическую формулировку, так и алгебраическую.

Геометрическая формулировка звучит так:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка звучит так:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Давайте возьмем окружность, центром которой является точка A (a; b) и радиус R. Теперь давайте на этой окружности возьмем произвольную точку В (x; y). В этом случае мы с вами можем применить теорему Пифагора.

В итоге, как видно с рисунка, мы с вами получили прямоугольный треугольник, который имеет стороны: АВ, ВС и СА.

В том случае, когда центр окружности расположен в начале координат, то есть, a = 0 и b = 0, то мы получаем уравнение окружности, которое принимает такой вид:

Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.

Немного истории

А знаете ли вы, что оказывается термины «окружность» и «круг» получили свои названия еще во времена Древней Греции. Для древних греков окружность и круг были венцом совершенства, ведь они уже в те времена пришли к выводу, что окружность в каждой своей точке устроена таким образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Также они обратили внимание на то, что из всех фигур, которые имеют одинаковую длину периметра, только у круга наибольшая площадь.

Древние философы придавали огромное значение окружности, ведь она является одной из древнейших геометрических фигур. Если следовать учению Аристотеля, то все планеты и звезды нашей вселенной движутся по самой совершенной линии, которой является окружность. Да и еще на протяжении сотни лет ученые астрономы были уверены, что все планеты движутся по окружности. И лишь только в XVII веке учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона это суждение было опровергнуто.

Аристотель

Николай Коперник

Галилео Галилей

Иоганн Кеплер

Исаак Ньютон

Повторение ранее изученного материала

Даже в древние времена круглые предметы вызывали огромный интерес у человека, так как тогда отсутствовали какие-либо технические сооружения, и для постройки знаменитых египетских пирамид приходилось использовать бревна круглой формы. Немного позже для перемещения огромных глыб, вместо бревен стали использовать колеса, так как они были легче в использовании.

Геометрические примитивы

А теперь давайте вспомним, какие примитивные фигуры вы уже изучили и дадим им определения.

Вы уже знаете, что любой фигурой называют произвольное множество точек на плоскости.

К таким геометрическим фигурам можно отнести точку, прямую, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и др.

Также вам известно, что точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости. Но в геометрии этим фигурам не дается определения, и они являются неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости.

Как правило, точки обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, D …. А вот прямые, обозначаются латинскими строчными буквами: а, b, с, d ….

«Точка» является одним из основных понятий в геометрии, но определения она не имеет. По теории Евклида, точкой является то, что нельзя разделить.

«Прямая» также является одним из главных геометрических понятий. Она представляет собой линию, которая незамкнутая, не искривленная и протяженная с двух сторон, у которой поперечное сечение стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.

«Треугольник» является также простейшей геометрической фигурой, которая имеет три стороны и три угла. Можно сказать, что это такая часть плоскости, которая ограничена тремя точками, и тремя отрезками, которые попарно соединяют эти точки.

«Прямоугольник» является параллелограммом, с четырьмя углами, каждый из которых равен 90 градусам.

«Окружность» — это такая геометрическая фигура, у которой каждая точка равноудалена от центра окружности.

Связь окружности с другими фигурами

Так как вы уже изучали тему «Окружность», то вам известно, что описанной окружностью многоугольника является такая окружность, которая охватывает все вершины этого многоугольника.

Если вы внимательно рассмотрите рисунок, то увидите, что центром пересечения серединных перпендикуляров окружности является точка О.

А вот вписанной в многоугольник окружностью называют такую окружность, которая расположена внутри данного многоугольника и которая касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Прямоугольная система координат

Изображенная на рисунке система координат называется декартовой или прямоугольной. Первое свое название эта система координат получила благодаря имени своего создателя, а вторая, благодаря прямому углу, который равен 90°.

Окружность и круг

А теперь давайте с вами вспомним все определения, которые непосредственно касаются таких понятий, как «окружность» и «круг».

Окружностью называют такую замкнутую прямую линию, у которой все точки равноудалены от центра.

А кругом является та часть плоскости, которая ограниченная этой окружностью.

Но мы с вами также знаем, что каждая окружность имеет диаметр. Им называют отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр проходит через центр этой окружности и является максимальным расстоянием между точками этой фигуры.

Радиус окружности делит диаметр пополам, а также соединяет центр окружности с любой его точкой.

В отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности, а располагается около нее.

В окружности присутствует и такое понятие, как круговой сектор. Это часть круга, которая ограничивается дугой и двумя радиусами. Эти радиусы соединяют концы дуги с центром круга.

Ну и, как правило, в геометрии для построения окружности используют циркуль.

Интересный факт

Окружность девяти точек

Такой простой, на первый взгляд многоугольник, который является треугольник издавна не оставлял равнодушными многих ученых математиков. Уделил свое внимание этой фигуре и такой знаменитый математик, как Леонард Эйлер. Он вывел и доказал теорему окружности девяти точек. В геометрии треугольника это обозначает, что есть окружность, которая проходит через середины всех имеющихся сторон треугольника. Такая окружность получила название окружности «Эйлера», «Фейербаха» или окружности шести точек.

Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:

В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».

Но это доказательство еще носит имя Карла Фейербаха, так как он первым его опубликовал в 1821 году вместе с теоремой, которой дал свое имя.