Уравнение определяет потерю устойчивости пластины

Особенности расчетов устойчивости стержней и пластин Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Орешко Е.И., Ерасов В.С., Луценко А.Н.

Рассмотрены вопросы расчетов устойчивости стержней и пластин в зависимости от их геометрических параметров. Применен метод конечных элементов для расчета устойчивости стержней и пластин . Анализ полученных результатов расчетов позволил определить факторы, влияющие на устойчивость стрежней и пластин . Определены границы применимости формул для расчета критической силы потери устойчивости стержней и пластин .

Calculation features of cores and plates stability

Questions of stability of cores and plates depending on their geometrical parameters are considered. The finite element method is applied for calculating the stability of the cores and plates. Analysis of the results of these calculations allowed us to determine the factors affecting the stability of the cores and plates. Limits of formulas applicability for the critical force calculation of the cores and plates stability loss are defined.

Текст научной работы на тему «Особенности расчетов устойчивости стержней и пластин»

Е.И. Орешко1, B.C. Ерасов1, А.Н. Луценко1

ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТОВ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН

Рассмотрены вопросы расчетов устойчивости стержней и пластин в зависимости от их геометрических параметров. Применен метод конечных элементов для расчета устойчивости стержней и пластин. Анализ полученных результатов расчетов позволил определить факторы, влияющие на устойчивость стрежней и пластин. Определены границы применимости формул для расчета критической силы потери устойчивости стержней и пластин.

Ключевые слова: расчет устойчивости, пластина, стержень, метод конечных элементов, критическая сила потери устойчивости.

Keywords: stability calculation, plate, core, finite element method, critical force for buckling.

^Федеральное государственное унитарное предприятие «Всероссийский научно-исследовательский институт авиационных материалов» Государственный научный центр Российской Федерации [Federal state unitary enterprise «All-Russian scientific research institute of aviation materials» State research center of the Russian Federation]; e-mail: admin@viam.ru

Для оптимального проектирования машин и конструкций необходимо знание условий, при которых в материале будут достигнуты предельные состояния при статических и циклических режимах эксплуатационного нагружения 2.

Теоретически всякая упругая система при определенных условиях нагружения может перейти в неустойчивое состояние равновесия. Поскольку модуль упругости металлических конструкций велик по сравнению с пределом упругости, то, возможно, что эти элементы становятся неустойчивыми в упругой области только при значительных упругих деформациях. Это имеет место, когда по крайней мере один или два размера сжатого элемента являются малыми по сравнению с третьим размером — как, например, в случае гибких стержней или тонких пластинок. Однако вследствие быстрого уменьшения модуля упругости при переходе через предел упругости, диапазон нагрузок, при которых может возникнуть неустойчивое состояние при обычных условиях нагружения, значительно расширяется. Частично нарушение внутренней структуры материала после перехода предела упругости ускоряет начало критического состояния выпучивания. Этот факт объясняет то важное положение, которое занимают проблемы устойчивости при расчете металлических конструкций [4].

Пластиной называется призматическое тело, ограниченное двумя плоскостями, расстояние ме^ду которыми мало по сравнению с другими

характерными размерами. Это расстояние называется толщиной h. Плоскость, равноудаленная от поверхностей пластины, называется срединной плоскостью. К срединной плоскости привязана одна из координатных плоскостей декартовой координатной системы (рис. 1).

Пластина называется тонкой, если (^Ь)2 фф«авннта и дм . ивид_

CitHa Характер зннрнлкюя киниоЕ L IL |V+:II:I Кмффнииенг □рдвдтвН ЛЛМ Н Ы U

И-i-i Оба ьтониа о m Jt in шарниры ]

1 ‘ Сттржят с однил звдЕлагапы KUHUcai. Бторьш спирита* на шарнир 0.69?

ч ——- P CiqiHitHb С ¿SLDi-nSLKKbO-l 1С ■ вврив Oufih ынои залелац второй свободен М

а N J ftl— 0:м и 1 коней jaie.-i.iH. налиток — n(j&i[+ нал б гполп.тьно>: и поперечит! напраьлеинн валика ]

р ii L ——- К^нин Ht поворачиваются на IIDTVT переде шмтк Jt ВТЖШрСЧНЯ! НаП[.ЧБЛСНИИ 1

0,3 1,3 2,3 3,3 4.3 alb

Рис. 2. Значения коэффициентов K для шарнирного закрепления кромок пластины в зависимости от соотношения alb (длина/ширина) [5]

по формуле Эйлера составляет

1%, что свидетельствует об адекватности математической модели и возможности ее применения для проводимого исследования [15]. Поэтому в программном комплексе ANSYS построили конечно-элементные модели пластин (модуль упругости 79 ГПа, коэффициент Пуассона 0,3) с различными геометрическими параметрами в случае шарнирного закрепления кромок, которые нагружали линейным вектором силы (рис. 3).

В результате расчета получали значение критической силы потери устойчивости и определяли погрешность результатов расчетов по формулам (4) и (9) относительно результатов расчетов в программе ANSYS (табл. 2).

Расчеты показали, что в случае шарнирного закрепления кромок при соотношении а/Ь (длина/ ширина) пластины (стержня), равном 2, результаты расчетов критической силы потери устойчивости по формулам (4) и (9) близки по значениям. С увеличением а/Ь от значения, равного 2, погрешность расчетов по формуле (4) уменьшается, а погрешность расчетов по формуле (9) увеличивается. При уменьшении а/Ь от значения, равного 2, наблюдается обратная тенденция.

Таким образом, при соотношении длины к ширине пластины а/Ь 2, то критическую силу потери устойчивости пластины предлагается рассчитывать по формуле (4).

Рис. 3. Первая форма потери устойчивости пластины с различными геометрическими параметрами (ширинахтолщинах длина) при сжатии линейным вектором силы в случае шарнирного закрепления кромок, рассчитанной с помощью метода конечных элементов при толщине 0,1 м, длине 0,002 м и ширине 0,1 (а); 0,05 (б) и 0,0125 м (в)

Сравнение аналитических расчетов стержней и пластин с расчетами с помощью метода конечных элементов (МКЭ)

К а/Ь Ширина Толщина Длина ЛФ, н Погрешность значений Ркр, %, по формуле

м пластины стержня АШУБ (9) (4)

0,99 1 0,1 0,002 0,1 5631 5214 5622 0,2 7,3

0,71 1,18 0,085 0,002 0,1 4751 4432 4722 0,6 6,1

0,54 1,33 0,075 0,002 0,1 4095 3911 4124 0,7 5,2

0,4 1,54 0,065 0,002 0,1 3500 3389 3536 1 4,2

0,23 2 0,05 0,002 0,1 2617 2607 2678 2,3 2,7

0,23 2 0,05 0,007 0,1 112182 111775 112930 0,7 1

0,14 2,5 0,04 0,002 0,1 1991 2086 2123 6,2 1,8

0,076 3,33 0,03 0,002 0,1 1441 1564 1580 8,8 1

0,034 4,76 0,021 0,002 0,1 921 1095 1100 16,3 0,46

Обсуждение и заключения

В работе рассмотрены вопросы расчетов устойчивости стержней и пластин в зависимости от их геометрических параметров.

Проведены расчеты критической силы потери устойчивости пластин по формулам (4) и (9), которые при некоторых геометрических параметрах пластин показали близкие результаты. В связи с

этим для расчетов устойчивости пластин с целью определения границ применимости формул (4) и (9) использовали конечно-элементный программный комплекс ANSYS. Определяли погрешность результатов расчетов по формулам (4) и (9) относительно результатов расчетов в программе ANSYS (табл. 2).

Расчеты показали, что при соотношении длины к ширине пластины, равном 2, результаты расчетов критической силы потери устойчивости по формулам (4) и (9) близки по значениям.

С увеличением соотношения длины к ширине пластины от значения, равного 2, погрешность расчетов по формуле (4) уменьшается, а погрешность расчетов по формуле (9) увеличивается. При уменьшении соотношения длины к ширине

пластины от значения, равного 2, наблюдается обратная тенденция.

Таким образом, при соотношении длины к ширине пластины менее 2 критическую силу потери устойчивости предлагается рассчитывать по формуле (9). При соотношении длины к ширине пластины более 2 критическую силу потери устойчивости предлагается рассчитывать по формуле Эйлера.

1. Каблов E.H., Гращенков Д.В., Ерасов B.C., Анчев-ский И.Э., Ильин В.В., Вальтер P.C. Стенд для испытания на климатической станции ГЦКИ крупногабаритных конструкций из ПКМ // Сб. докл. IX Междунар. науч. конф. по гидроавиации «Гидроавиасалон-2012». 2012. С. 122-123.

2. Каблов E.H. Инновационные разработки ФГУП «ВИАМ» ГНЦ РФ по реализации «Стратегических направлений развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года» // Авиационные материалы и технологии. 2015. №1 (34). С. 3-33. DOI: 10.18577/2071-9140-2015-0-1-3-33.

3. Каблов E.H. Авиакосмическое материаловедение // Все материалы. Энциклопедический справочник. 2008. №3. С. 2-14.

4. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. Пер. с англ. М., 1959. С. 18.

5. Астахов М.Ф., Караваев A.B., Макаров С.Я., Суз-дальцев Я.Я. Справочная книга по расчету самолета на прочность. М.: Гос. изд-во оборонной пром-сти, 1954. С. 411-412.

6. Прочность. Устойчивость. Колебания: справочник в 3-х т. / под общ. ред. H.A. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. С. 94.

7. Орешко Е.И., Ерасов B.C., Луценко А.Н., Терен-тьев В.Ф., Слизов А.К. Построение диаграмм деформирования в трехмерном пространстве a-s-t // Авиационные материалы и технологии. 2017 (в печати).

8. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков C.B., Базылева O.A., Луценко А.Н., Орешко Е.И. Моделирование упругопластических характеристик монокристаллических интерметаллидных сплавов на основе микроструктурного численного анализа // Математическое моделирование и численные методы. 2015. №2. С. 3-22.

9. Димитриенко Ю.И., Луценко А.Н., Губарева Е.А., Орешко Е.И., Базылева O.A., Сборщиков C.B. Расчет механических характеристик жаропрочных

интерметаллидных сплавов на основе никеля методом многомасштабного моделирования // Авиационные материалы и технологии. 2016. №3 (42). С. 33-48. DOI: 10.18577/2071-9240-2016-0-3-33-48.

10. Орешко Е.И., Ерасов B.C., Луценко А.Н. Математическое моделирование деформирования конструкционного углепластика при изгибе // Авиационные материалы и технологии. 2016. №2 (41). С. 50-59. DOI: 10.18577/2071-9240-2016-0-2-50-59.

11. Орешко Е.И., Ерасов B.C., Подживотов Н.Ю., Луценко А.Н. Расчет на прочность гибридной панели крыла на базе листов и профилей из высокопрочного алюминий-литиевого сплава и слоистого алюмостеклопластика // Авиационные материалы и технологии. 2016. №1 (40). С. 53-61. DOI: 10.18577/2071-9240-2016-0-1-53-61.

12. Гусев Д.Е., Коллеров М.Ю., Рудаков С.С., Королев П.А., Орешко Е.И. Оценка биомеханической совместимости имплантируемых опорных пластин из сплавов на основе титана и никелида титана методом компьютерного моделирования // Титан. 2011. №3 (33). С. 39-44.

13. Коллеров М.Ю., Гусев Д.Е., Орешко Е.И. Экспериментально-теоретическое обоснование выбора метода и имплантатов для устранения воронкообразной деформации грудной клетки // Научные труды (Вестник МАТИ). 2012. №19 (91). С. 331-336.

Потеря местной устойчивости тонких пластин

Остаточные напряжения сжатия, возникающие при сварке, могут вызвать потерю местной устойчивости тонких пластин. Чтобы пластина не потеряла устойчивости, должно быть выполнено следующее условие:

где s_св – напряжения сжатия, вызванные сваркой;

s_вн – напряжения сжатия от внешних нагрузок;

s_кр – критические напряжения, зависящие от соотношения размеров пластины и характера закрепления ее кромок.

Критические напряжения выражаются формулой

(4.9)

где k – коэффициент, учитывающий соотношение размеров пластины и характер закрепления ее кромок;

n – коэффициент Пуассона, принятый равным 0,3;

d и b – соответственно толщина и ширина пластины.

Значения коэффициентов k и А для различных условий закрепления приведены в табл. 4.1 и 4.2.

Таблица 4.1 –Коэффициентыk и А для определения σ_кр пластины, сжатой в одном (продольном) направлении

Значения k и А при отношении сторон пластины

0,60,81,01,21,41,61,82,03.0∞Все края шарнирно оперты (рис. 4.6а)k A5,14 4,634,20 3,784,00 3,604,13 3,724,47 4,024,20 3,784,05 3,644,00 3,60− −4,00 3,60Все края защемленыk A− −− −9,40 8,469,30 8,378,80 7,928,50 7,658,50 7,658,20 7,387,80 7,027,0 6,30Края х = 0, х =а шарнирно оперты; края у = 0, у =b защемленыk A7,05 6,357,29 6,567,69 6,927,15 6,447,04 6,347,20 6,487,05 6,357,0 6,307,15 6,447,0 6,30Края х = 0, х = а защемлены, края у = 0, у =b шарнирно опертыk A13,38 12,048,73 7,866,74 6,075,14 5,265,45 4,905,34 4,815,18 4,664,85 4,364,41 3,964,0 3,60Края х = 0, х = а шарнирно оперты; край у = b защемлен; край у = 0 свободен (рис. 4.6в)k A− −2,70 2,431,70 1,531,47 1,321,36 1,?21,33 1,201,34 1,211,38 1,241,36 1,221,33 1,20Края х = 0, х = а и y=b шарнирно оперты, край у = 0 свободен (рис. 4.6б)k A3,65 3,102,15 1,931,44 1,301,14 1,030,95 0,850,84 0,760,76 0,680,70 0,630,56 0,500,46 0,41

Таблица 4.2 –Коэффициенты k и А для определения s_кр пластины, сжатой в двух направлениях (рис. 4.6г)

Отношение сторон пластины

Значения k и A при

0,20,40,60,81.02,0k3,362,852,502,222,01,33А3,032,562,252,001,801,20k3,362,401,841,491,250,69А3,032,161,661,341,120,62k3,242,421,741,361.110,58А2,902,171,561,221,000,52

k3,202,401,671,251,000,50А2,882,161,501,120,900,45

Схемы сжатия пластин приведены на рис. 4.6. Если условие по формуле (4.8) не удовлетворяется и s_св + s_вн > s_кр, то пластина потеряет устойчивость и появится выпучина, стрелка прогиба которой

, (4.10)

где a = l – длина пластины.

При сварке полотнищ в результате образования напряжений сжатия s₂ = s_св (рис. 4.7а) возможно проявление общей потери устойчивости (рис. 4.7б).

Критические напряжения в этом случае

(4.11)

где d и l – соответственно толщина и длина полотнища.

Стрелка прогиба полотнища в случае общей потери устойчивости может быть определена по формуле:

(4.12)

Формула (4.12) справедлива при .

Пример.

Две пластины из стали Ст3 размером 16×400×1000 мм (рис. 315а) свариваются встык двусторонним швом автоматической сваркой под флюсом на таком режиме:

I = 700 A; U == 30 В; v = 43 м/ч, h = 0,80. Определить: 1) величину угловых деформаций и стрелку поперечного прогиба пластины после выполнения швов 1 и 2 (рис. 4.8б, в);

2) произойдет ли общая потеря устойчивости полотнища после сварки;

3) величину предельной внешней сжимающей нагрузки, действующей вдоль продольной оси полотнища, исходя из условия, чтобы стрелка продольного прогиба полотнища была не более 0,8 см.

Решение.

1. Остаточные угловые деформации пластины после выполнения двустороннего шва будут определяться по формуле (4.1)

Из условия задачи следует, что выбранный режим сварки одинаковый для обоих проходов и обеспечивает глубину проплавления

Угловая деформация b₁ от шва 1 зависит от расчетной толщины d_р = h₁ которая вызывает сопротивление угловым деформациям. Погонная энергия сварки

Рисунок 4.8 — Пластина, свариваемая стыковым швом

Удельная погонная энергия (см. рис. 4.2)

кал/см.

кал/см 3 .

По графику рис. 4.2 определяем, что при v = 1,2 см/с и кал/см 3 остаточная угловая деформация b₁ = + 0,02 рад. При выполнении второго прохода (рис. 4.8а) расчетное значение d_р = d, а удельная погонная энергия

кал/см 3 .

Угловая деформация (обратного знака)

и суммарная угловая деформация

Стрелку поперечного прогиба f_n определим по формуле (4.2)

см.

2. Для ответа на вопрос, произойдет ли общая потеря устойчивости пластины после сварки, необходимо определить остаточные напряжения сжатия s₂ = s_св и сравнить их с критическими напряжениями по формуле (4.11).

кгс/см 2 .

Критические напряжения, приводящие к общей потере устойчивости пластины, найдем по формуле (4.11)

кгс/см 2 .

Расчеты показывают, что s_св 2 .

Контрольные вопросы

1. Назовите причины образования угловой деформации при сварке.

2. Какова зависимость угловой деформация от относительной глубины провара и скорости сварки?

3. Как определить возможность потери устойчивости листового элемента от остаточных напряжений?

4. От чего зависит жесткость закрепления кромок листового элемента и как она учитывается при определении критического значения напряжения.

Лекция 5.
Расчет вторичных деформаций сварных элементов

5.1 Влияние внешних нагрузок на возникновение вторичных деформаций

5.2 Возникновение вторичных деформаций при механической обработке сварных конструкций

5.3 Классификация сварочных деформаций и напряжений

Под вторичными деформациями сварных конструкций подразумевают остаточную деформацию, возникающую в результате перераспределения внутренних остаточных напряжений. Это перераспределение может произойти при первом нагружении сварной конструкции, при механической, термической и газопламенной обработке сварных изделий.

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

Пластинка является наиболее характерным элементом конструкции самолёта и двигателя. С ней обычно отождествляют элемент обшивки крыла, фюзеляжа, оперения летательного аппарата, стенку лонжерона, нервюры, шпангоута.

Основной особенностью пластинки является её способность воспринима-ть только распределённую нагрузку, действующую главным образом в её плоскости, (рис. 11.1)

Обычная пластинка при действии распределенной поперечной нагрузки работает как широкополая; балка сплошного поперечного сечения, но при этом наблюдаются две особенности:

— при изгибе из-за стеснения поперечных деформаций пластинка оказывается несколько более жесткой, чем узкая балка той же площади

цилиндрическая жёсткость — выше обычной ;

Рис. 11.1. Нагружение пластины — граничные условия для пластинки более разнообразны, так как включают опирание продольных кромок (рис. 11.2), свободных у балки.

Распределённую попе-речную нагрузку пластинка воспринимает плохо и в этом отношении не является рациональным элементом, поскольку работает на изгиб. По этой причине пластинке присущи все недостатки балки сплошного попереч-ного сечения. Обычно применяют пластинки, под-креплённые рёбрами жёсткости (стрингерами, Рис. 10.2. Схемы опирания пластины нервюрами) — панели.

Значительно лучше пластинка работает на восприятие нагрузок, прило-женных в её плоскости (растяжение, сжатие, сдвиг).

При растяжении пластинки разрушаются при достижении в материале напряжений уровня σ_b(предел прочности при растяжении).

При сжатии и сдвиге пластинки разрушаются из-за потери устойчивости. Нагрузки инапряжения, действующие в момент потери устойчивости, принято называть критическими.

Рассчитать величину указанных напряжений можно с использованием дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба.

11.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО
ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ.

При условии выполнения для материала закона Гука уравнение имеет вид:

(11.1)

где: W, D- прогиб и цилиндрическая жесткость пластинки;

D — распределённая по площади поперечная нагрузка;

N_x — распределённые по ширине пластинки погонные усилия;

n_y — распределённые по длине пластинки погонные усилия;

q- погонные касательные усилия.

Решение дифференциального уравнения (11.1) заключается в нахождении такой функции W(x,y) , которая в каждой точке, взятой внутри пластинки, обращает данное уравнение в верное равенство, ана контуре удовлетворяет ещё и граничным условиям (11.2).

Рассмотрим решение дифференциального уравнения (11.1) в упрощённом виде при действии распределённой сжимающей нагрузки только в
направлении оси X (рис. 11.3). Граничные условия — шарнирное опирание по
4-м кромкам ( рис. 11.2, в).

(11.2)

Рис.11.3 Нагружение и опирание сжатой пластинки

Применим метод подбора решения. Можно проверить, чтопо крайней мере граничным условиям (1.2в) удовлетворяет функция:

(11.3)

где mи п — целые числа I, 2 …

f — некоторый коэффициент.

Эта же функция похожим образом описывает и форму поверхности пластинки после потери устойчивости.

Будем поэтому считать (11.3) приближённым решением (11.1). Нас будет интересовать вопрос, при каких значениях нагрузки начальная форма плоского равновесия перестаёт быть устойчивой (w¹ 0)

Для этого в дифференциальное уравнение (11.1) подставим (11.3).

Подготовим значения производных для подстановки.

Результаты подстановки после сокращения на общий множитель

После очевидных преобразований имеем:

Обычно n = 1 (вдоль оси y образуется только одна полуволна), поэтому

а величина обозначается как k_s_.

Окончательно (11.5)

График функции Кσ = f(а/b)для различных форм потери устойчивости при шарнирном опирании по 4кромкам приведен на рис.1.4.

Рис. 11.4. График функции Кσ = f(а/b)

Реализуется всегда наименьшее значение критических напряжений, отсюда всегда можно определить заранее, по какой форме пластинка потеряет устойчивость, если её размеры известны.

При пользовании формулой (11.5) следует учитывать, что небезразлично, как ориентирована пластинка в системе координат X, У . Размер «а» следует брать внаправлении действующей сжимающей нагрузки (Рис.11. 4).

В случае других форм опира-ния следует пользоваться специаль-ными таблицами и графиками, в частности, графиком, приведенным на рис. 11.5.

11.2. КРИТИЧЕСКИЕ
НАПРЯ ЖЕНИЯ СДВИГА

Аналогично тому, как было получено выражение для критичес-ких напряжений сжатия, можно получить выражения для критических напряжений сдвига.

Для этого в уравнении(11.1) следует справа удержать только член , остальные принять равными 0.

Рис. 11.5. График функции Кσ = f(а/b) для

Различных форм опирания

(11.6)

Размер «b» при использовании (11.6) — всегда наименьший.

Величина К_τ, такжекак и К_σ для различных, случаев опирания пластинки по контуру берётся из таблиц, для наиболее употребительного случая — шарнирного опирания по 4-м кромкам, может рассчитываться по. формуле:

Физическая картина потери устойчивости при сдвиге иллюстрируется на рис. 11.6.

Сдвиг — это плоское напряжённое состояние, которое в окрестности каждой точки пластинки можно представить комбинацией растяжения и сжатия по 2-м взаимно перпендикулярным направлениям. Напряжения по обеим главным площадкам одинаковы по модулю σ₁ = — σ₂

Потеря устойчивости происходит под действием сжимающих напряжений σ₂, поэтому гребни волн образующихся при этом, направлены под углом 45° к основанию пластинки.

Рис. 11.6. Потеря устойчивости пластины при сдвиге

11.3. КРИТИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СОВМЕСТНОМ
ДЕЙСТВИИ СЖАТИЯ И СДВИГА

Совместное действие сжатия и сдвига наблюдается при одновременном изгибе и кручении крыла, фюзеляжа, оперения и т.д.

При этом каждый элемент обшивки опёртый на два соседних стрингера и две нервюры, работает на сжатие, растяжение и сдвиг. Наиболее опасна комбинация сжатия и сдвига, т.к. растяжение способствует повышению критических напряжений. Общее решение можно получить, удерживая в правой части дифференциального уравнения (1I.I) члены и

(11.8)

где σ_кр, τ_кр— критические напряжения сжатия и сдвига при их раздельном совместном действии,

n = 1…2 ( обычно для алюминиевых сплавов n = 1,7 ).

Одно из напряжений ( σили τ) должно быть задано как действующее, второе определяется.

11.4. КРИТИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПЛАСТИНКИ,
РАБОТАЮЩЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ.

Всё сказанное выше о расчёте критических напряжений справедливо для случая относительно тонких пластинок, теряющих устойчивость в пределах пропорциональности. Толстые пластинки теряют устойчивость за пределом пропорциональности, когда основное допущение, принятое при выводе дифференциального уравнения (11.1) (деформации материала подчиняются закону Гука), не выполняется. Расчёт критических напряжений в этом случае проводятся с использованием эмпирических зависимостей:

(11.9)

где σ_кри τ_кропределяются обычным способом.

Таким образом, расчёт критических напряжений пластинки включает в себя этапы:

1. Расчёт σ_крили τ_крв предположении работы материала в пределах пропорциональности.

2. Проверка выполнимости принятого предположения.

3. Пересчёт в случае необходимости критических напряжений σ_кри τ_крс использованием эмпирических зависимостей (9).

1. Какие нагрузки хорошо воспринимает пластинка?

2. Опишите способы опирания пластинок?

3. Причины разрушения пластинки при растяжении, сжатии и сдвиге?

4. Укажите, какие параметры входят в дифференциальное уравнение поперечного изгиба пластины? В чем заключается решение этого уравнения? В чем заключается метод подбора решения?

5. Опишите уравнение для определения критического напряжения при сжатии?

6. Опишите график функции К_σ = f(а/b) при шарнирном опирании 4 кромок.

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Стержень — элемент удлинённой формы, работающий на растяжение-сжатие от продольных (осевых) сил (рис. 12.1,а).

Стержни в авиационных конструкциях — это стрингеры крыла, фюзеляжа, оперения, пояса лонжеронов, тяги проводки управления и т.д. Они имеют обычно тонкостенные поперечные сечения открытого или замкнутого профиля.

Открытые тонкостенные стержни (рис. 12.1,б) изготавливаются прессованием, прокаткой или штамповкой из тонких листов. их характерными сечениями являются профили уголкового, швеллерного, таврового и двутаврового типа.

Рис. 12.1. Примеры стержней, применяемых в авиаконструкциях

Наиболее распространёнными стержнями с замкнутыми сечениям являются тонкостенные трубы. В ряде случаев замкнутые сечения получаются после приклёпывания открытого профиля к обшивке (рис. 11.1,в).

Особенностью тонкостенных стержней является недостаточная жёсткость поперечных сечений и возможность их искажения под действием внешней сжимающей силы.

Если соотношения размеров стержня таковы, что в про-цессе нагружения не происходит существенного изменения формы и. размеров поперечных сечений, то такой стержень при действии продольной сжимающей силы претерпевает общую потерю устойчивости с изгибом его оси (рис.12.2,а).

Рис.12.2. Виды потери устойчивостипоэтому разрушение
тонкостенных стержней длинных изолированных

стержней при сжатии обычно происходит от общей потери устойчивости.

Короткие тонкостенные стержни обладают повышенной изгибной жёсткостью в продольном направлении и при действии сжимающей нагрузки чаще разрушаются в результате выпучивания тонких стенок (рис. 11.2,б) без искривления оси, то есть в результате местной потери устойчивости.

источники:

http://lektsii.org/17-42410.html

http://megalektsii.ru/s27412t2.html