Уравнение оси ох в пространстве

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Высшая математика.
• Аналитическая геометрия.
• Прямая в пространстве, всевозможные уравнения, взаимное расположение прямых в пространстве, расстояние от точки до прямой в пространстве.

Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:

1) $\left\<\beginA_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\quad (P_1)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\quad (P_2)\end\right. — $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$

2) $\frac=\frac=\frac

-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$

3) $\frac=\frac=\frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$

4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:

Расположение двух прямых в пространстве.

Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline_1\parallel\overline_2\Leftrightarrow$ $\frac=\frac=\frac.$

Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline_1\perp\overline_2\Leftrightarrow$ $\cdot+\cdot+p_1\cdot p_2=0.$

Угол между прямыми:

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.

Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac=\frac=\frac

,$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac<|[\overline, \overline S]|><|\overline S|>.$$

Примеры.

2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:

а) вектору $q(2, -3, 5);$

е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$

Решение.

а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:

$\frac=\frac=\frac

-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$

По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline=q(2,-3,5).$

б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $\frac<5>=\frac<2>=\frac<-1>$ имеет координаты $\overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):

в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$

д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой

$\left\<\begin3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end\right.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.

Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$

для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$

Находим векторное произведение:

Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end\right.$ имеет координаты $\overline S (-4, 8, 10).$

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$

е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:

Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac<1><2>\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$

2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$

Решение.

Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:

$\frac=\frac=\frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$

Подставляем заданные точки:

2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми

Решение.

Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac<|[\overline, \overline S]|><|\overline S|>,$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 — $произвольная точка прямой $L_2,$ $\overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$

Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2). $

Отсюда находим $\overline=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$

Ответ: 3.

2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\<\begin2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end\right.$

Решение.

Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.

Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:

Таким образом, $M=(-14, -\frac<25><2>, 0)$

Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$

для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$

Находим векторное произведение:

Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end\right.$

имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$

Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac<|[\overline, \overline S]|><|\overline S|>.$$

$\overline=\left(2-(-14),3-\left(-\frac<25><2>\right),-1-0\right)=\left(16, 15\frac<1><2>, -1\right)$

Ответ: $d(A, L)=15.$

2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac<3>=\frac<-2>=\frac<2>.$

Решение.

Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$

$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$

$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$

Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:

Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$

Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:

Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$

Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $\frac=\frac=\frac :$

2.199.

б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$

б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $\left\<\beginx=3t+5,\\ y=2t,\\z=-2t-25. \end\right.$

2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\<\begin2x+2y-z-10=0,\\ x-y-z-22=0, \end\right.$ и $L_2: \frac<3>=\frac<-1>=\frac<4>.$ параллельны и найти расстояние $\rho(L_1, L_2)$

2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac<5>=\frac<-2>=\frac<-1>$ и $\frac<4>=\frac<-6>=\frac<2>.$

2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac<1>=\frac<4>=\frac<2>.$