Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.
Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.
Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.
Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.
Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве
Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:
$ρ= |\vec \cdot \vec|\left(1\right)$, где $\vec$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.
В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:
Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec$:
Готовые работы на аналогичную тему
Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:
Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:
Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.
Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости
Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec$ и $\vec$.
Найдите расстояние от точки $M_0$, заданной координатами $(1;2;3)$ до плоскости $β$, заданной уравнением $5x+2y-z+3=0$
Воспользуемся формулой $(4)$:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 03 2021
Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы введем понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим и докажем важнейшую теорему о трех перпендикулярах. Вначале введем понятие перпендикуляра, наклонной и проекции и покажем построение отрезка, являющегося расстоянием между точкой и плоскостью, дадим строгое определение этого расстояния. Далее дадим определение расстояния между двумя параллельными плоскостями и покажем построение этого отрезка. Также дадим определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью. Далее дадим формулировку теоремы о трех перпендикулярах и докажем ее. Также сформулируем и докажем обратную теорему. В конце урока решим несколько задач с использованием теоремы о трех перпендикулярах.
∀ x, y, z
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Сообщения: 2 🔎
# 1 Июл 2016 18:45:00 Evgeniy
Общее уравнение плоскости
Утверждение. Всякое уравнение первой степени вида , где , и — некоторые действительные числа, где 0$» title=»$A^2+B^2+C^2>0$»>, то есть , и одновременно не равны нулю, задает плоскость в прямоугольной системе координат , и обратно, любая плоскость в прямоугольной системе координат задается уравнением вида при некотором наборе значений , и .
Утверждение состоит из двух частей.
Докажем сначала, что уравнение вида задает плоскость.
Всегда найдется точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, . Это следует из того, что система линейных уравнений, состоящая из одного уравнения , всегда имеет решение.
Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем эквивалентное уравнение вида .
Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат плоскость, перпендикулярную направлению вектора .
Таким образом, уравнение задает плоскость в прямоугольной декартовой системе координат , следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. Таким образом, первая часть утверждения доказана.
Теперь докажем обратное, что всякая плоскость в прямоугольной системе координат определяется уравнением вида .
Пусть в прямоугольной системе координат задана плоскость , проходящая через точку , причем — нормальный вектор плоскости , и пусть — произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если обозначить , то получим уравнение , которое соответствует плоскости .
Итак, доказательство утверждения завершено.
# 1 Июл 2016 19:04:43 Evgeniy
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости вида называется нормальным уравнением плоскости, если длина вектора нормали равна единице, то есть , и кроме того принимается соглашение, что коэффициент .
Обычно нормальное уравнение плоскости записывают в виде:
Здесь — направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , причем . Кроме того с учетом соглашения о знаке свободного коэффициента .
Найдем расстояние от произвольной точки до плоскости , которая задана нормальным уравнением .
Пусть — произвольная точка плоскости . Тогда расстояние от точки до плоскости будет равно длине проекции вектора на нормаль .
Проекция вектора на нормаль выражается через скалярное произведение:
Если в качестве точки взять начало координат , то получим . Отсюда, в частности, следует, что расстояние от начала координат до плоскости равно .
Если изначально не накладывать ограничения на знак , то величина будет положительной в том случае, если точка лежит в полупространстве относительно плоскости , в которую направлен вектор , будет отрицательной в случае, если точка лежит в полупространстве относительно плоскости , в которую направлен вектор , и будет нулевой, если точка принадлежит плоскости .
Поскольку по принятому соглашению и при этом значение , то можно сделать вывод, что условие определяет направление вектора нормали так, что он направлен из начала координат к плоскости.
Таким образом, можно заключить, что значение будет отрицательным, если точка находится в одном полупространстве с началом координат , будет положительным, если точка не находится в одном полупространстве с началом координат , и будет нулевым, если принадлежит самой плоскости.
