Уравнение отображает множество на множество

Решение некоторых задач по теории множеств

Разделы: Математика

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

АВ = А∩В

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

Сколько учащихся решили все задачи?
Сколько учащихся решили только две задачи?
Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

m (Е) = 40
m (А) = 20
m (В) = 18
m (С) = 18
m (А∩В) = 7
m (А∩С) = 8
m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 7-5=2
m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 8-5=3
m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-5=4
m (К 1 ) = m (А) — m (К 2 ) — m (К 4 ) — m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
m (К 3 ) = m (В) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
m (К 7 ) = m (С) — m (К4) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

m (АВ) = 33
m (АС) = 31
m (ВС) = 32
m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )

m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
2m (К 1 ) + 12 = 24
m (К 3 )= 13-6=7
m (К 7 )=12-7=5
m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

m (Е) = 35
m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
m (А∩В)= 15
m (А∩С)= 13
m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )

m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 15-6=9
m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 13-6=7
m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-6=3
m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) — m (К 4 ) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными

Примеры изображения на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и систем неравенств с двумя переменными

Просмотр содержимого документа
«Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными»

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств

с двумя переменными.

1. Изображение множества решений уравнений с двумя переменными.

Определение. Уравнение вида , где — некоторая функция переменных х и у, называется неравенством с двумя неизвестными х и у.

Решить уравнение – значит найти множество всех его корней.

Решением уравнения с двумя переменными называется любая упорядоченная пара (х; у), которая обращает заданное уравнение в верное числовое равенство.

Для того, чтобы решить уравнение с двумя переменными нужно построить его график.

Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Задача 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений уравнений

Построим график уравнения

Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю.

Решим каждое из полученных уравнений:

или

Решением является множество точек двух прямых: ,

Задача 2. Изобразить на координатной плоскости множество решений уравнений

Построим график уравнения .

Для этого выразим переменную .

Уравнение задает параболу с вершиной в точке

То есть решением уравнения является множество точек параболы

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений уравнений

Построим график уравнения

Уравнение задает окружность с центром в точке , радиусом

То есть решением уравнения является множество точек построенной окружности

2. Изображение множества решений неравенств с двумя переменными.

Определение. Выражение вида , где — некоторая функция переменных х и у, называется неравенством с двумя неизвестными х и у.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений.

Решением неравенства с двумя переменными называется любая упорядоченная пара (х; у), которая обращает заданное неравенство с переменными в верное числовое неравенство.

Алгоритм решения неравенства

1. Построить график уравнения .

Если неравенство «строгое», тогда график изображаем пунктирной линией;

Если неравенство «нестрогое», тогда график изображаем сплошной линией.

2. Выделить штриховой часть координатной плоскости, соответствующей знаку неравенства.

Задача 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Построим график заданного неравенства . Для этого выразим переменную .

Уравнение задает линейную функцию, проходящую через точки:

Поскольку неравенство имеет знак «больше либо равно», значит выделяем часть координатной плоскости, которая лежит выше построенной прямой . Выделенная часть является решением заданного неравенства.

Задача 2. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Построим график заданного неравенства.

Уравнение задает параболу с вершиной в точке

Поскольку заданное неравенство имеет знак «больше либо равно», значит решением неравенства является множество всех точек, расположенных выше (внутри) параболы.

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства .

Графиком уравнения является гипербола .

Данная гипербола разбивает координатную плоскость на три области А, В и С.

Для определения необходимой области нужно выбрать контрольные точки, по одной из каждой области.

Возьмем из области А точку с координатами (5;4). Подставим координаты в заданное неравенство и проверим его истинность. Имеем: получили верное неравенство. Значит область А входит в решение заданного неравенства.

Возьмем из области В точку с координатами (1;2). Подставим координаты в заданное неравенство и проверим его истинность. Имеем: получили неверное неравенство. Значит область В не входит в решение заданного неравенства.

Возьмем из области С точку с координатами Подставим координаты в заданное неравенство и проверим его истинность. Имеем: получили верное неравенство. Значит область С входит в решение заданного неравенства.

3. Изображение множества решений системы неравенств с двумя переменными.

Решить систему неравенств – значит найти множество всех решений системы.

Решением системы неравенств с двумя переменными называется любая упорядоченная пара (х; у), которая обращает все неравенства заданной системы в верные числовые неравенства.

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы

Задача 4. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

На координатной плоскости множество всех решений неравенства

изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих выше прямой и на этой прямой (смотри задачу 1).

Аналогично строим график неравенства .

То есть строим на координатной плоскости прямую

Множество решений неравенства изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих выше прямой и на этой прямой.

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы.

Задача 5. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

На координатной плоскости множество всех решений неравенства

изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих ниже параболы и на этой параболе.

Аналогично, множество решений неравенства изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих выше параболы и на этой параболе.

Множества — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С. а его элементы — прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, . , будем записывать в виде A = <а, b, с. >. Отметим, что записи <6, 11>, <11, 6>, <11, 6, 6, 11>означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>— множество цифр десятичной системы счисления ,

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как а то, что он не является его элементом, будем обозначать как Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества имеем однако

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество конечно, а множество всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через число всех элементов конечного множества А. Если, например,

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А — подмножество множества В и обозначают так: . В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А — часть В».

Во множестве <а>лежат два подмножества:

Множество <а, b>имеет четыре подмножества:

так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:

Например, пусть А=< 1, 2, 3, 4>, В=<2, 3, 4, 5>. Так как Очевидно, что справедливы соотношения:

Если то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:— множество натуральных чисел; — множество целых чисел; — множество рациональных чисел;

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через

Например, если

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через

Например, если

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

b) найдите множества:

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение истинно.

b). так как только числа 3 и 9 — элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествовыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: = <2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10>;

c) Утверждение ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение истинно, ибо в множестве У есть элементы из <9, 6, 3>.

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так:

Например, запись читается следующим образом: «множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что и оно, конечно, при этом

Аналогично запись читается так: «множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что, и оно бесконечно, при этом

Пример:

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите

Решение:

a) «Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10»;

b).

c).

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество называемое универсальным множеством.

Множество А\ содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если — универсальное множество, то дополнение множества имеет вид

Очевидно, что

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

Решение:

Пример:

Пусть

Выпишите все элементы множеств:

Решение:

Пример:

Пусть <числа, кратные 4 и меньшие 50>и Q = <числа, кратные 6 и меньшие 50>. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите с) Найдите

d) проверьте выполнение равенства

Решение:

Значит, равенство является верным.

Диаграммы Венна

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Закрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Если и , то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Мы знаем, что если то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Все элементы пересечения лежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом:

Пример:

Пусть Изобразите на диаграмме

Решение:

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А,

Высказывание

Высказывание — это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание «Этот писатель родился в Ташкенте» может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность — ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим — ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r . .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х — четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: (конъюнкция, «и», «но»), (дизъюнкция, «или»), (отрицание,» не . «,»неверно, что . «).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида «не р» или «неверно, что р» называется отрицанием высказывания р и обозначается как

р: Во вторник шел дождь

: Во вторник дождя не было;

р: У Мадины глаза голубые

: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то ложно, и наоборот, если р ложно, то истинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности или ложности нового высказывания

1 Буквы Т и F — начальные буквы английских слов «true» (истинно) и «false» (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание:

р: «Число х больше, чем 10 «.

На диаграмме U — множество всех чисел, множество Р — множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания : «Число х меньше или равно 10».

Пример:

На множестве рассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний

Решение:

Пусть множество Р — множество истинности высказывания р, а множество Р’ — множество высказывания . Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «и», называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

истинно, когда оба высказывания р, q истинны. ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания является множеством на котором истинны оба высказывания:

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «или», называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

Высказывание истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество , на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний:

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности

3 шаг Учитывая значения истинности p и заполним четвертый столбец значениями истинности

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Решение:

Видно, что высказывание принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией.

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильными

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний

Так как у высказываний соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки «если . то . » называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация «Если р, то q» обозначается как и имеет также следующие интерпретации «Из р следует (вытекает) q», «Высказывание р достаточно для q «, «Высказывание q необходимо для р».

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q — необходимым условием для р.

высказывание q — необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно также

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях — истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

р: «Анора часто смотрит кинофильмы»;

q: «Барно часто смотрит кинофильмы

r: «Барно не сдаст экзамен»;

s: «произойдет чудо».

Имеем: 1. «Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно — нет».

2. «Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет».

3. «Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо».

4. «Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен».

5. «Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен».

Эквиваленция

Высказывание вида называется эквиваленцией высказываний и обозначается так:

Запись читается как «высказывание р необходимо и достаточно для q» или как «высказывание р истинно лишь при выполнении q».

Пример:

р: х — четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание

Решение:

Рассмотрим высказывание,: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Если последняя цифра числа х четна, то х — четно.

Тогда запись читается , как «Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной». ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания :

Видно, что высказывание будет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Конверсия

Конверсией высказывания называется высказывание

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Пример:

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание и его конверсию.

Решение:

Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказывания называется высказывание Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания . Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания называется высказывание Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Поэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы». Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: «Если этот человек — учитель, что он живет поблизости от школы».

Это предложение имеет форму , где

р: этот человек — учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция имеет вид:

«Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Определите истинность или ложность высказываний

Решение:

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях «Этот писатель родился в Ташкенте» и «Он родился в Ташкенте» переменными являются словосочетание». «Этот писатель» и местоимение «он» соответственно. Если вместо переменной подставить значение «Абдулла Кадыри», получим истинное высказывание «Абдулла Кадыри родился в Ташкенте». Если вместо переменной подставить значение «Шекспир», получим ложное высказывание «Шекспир родился в Ташкенте».

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде «х родился в Ташкенте».

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так:

Используя совместно с предикатом специальные символы (квантор всеобщности, «для всех . «) и (квантор существования, «существует такой, что . «), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): «х родился в Самарканде». Тогда высказывание читается как «все родились в Самарканде», а высказывание — «некоторые родились в Самарканде».

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний вида

Пример:

Пусть Докажите истинность высказывания:

Решение:

Проверим:

Значит, высказывание, истинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказывание, ложно.

Действительно, при

Любое значениех, которое показывает, что высказывание ложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания

Решение:

Так как то высказывание, истинно.

Если же , то высказывание ложно, ибо

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись означает «Среди моих одноклассников

не существует отличников», тогда запись означает логически равносильное ему утверждение «Все мои одноклассники не являются отличниками».

Точно также, формула означает высказывание «Неверно, что все мои одноклассники — отличники «, а формулаозначает логически равносильное ему высказывание «Некоторые мои одноклассники не являются отличниками».

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

В то время, когда смысл высказываний

а также смысл высказываний,одинаков, оказывается, что высказывания не являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у — отец моего одноклассника х.

В этом случае = означает высказывание «у каждого моего одноклассника есть отец»; а означает высказывание «существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников».

Аналогично можно показать, что высказывания,не являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной «, служит примером закона логики вида:

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Совокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Так следствие вытекает из суждений и р, то умозаключение имеет следующую логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

Так как здесь следует q, то наше умозаключение имеет логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

— представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: «Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?»

Решение:

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Упростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

— странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание «То, что я утверждаю сейчас — ложь».

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» — рефлексивное, а прилагательное «английский» — нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» — рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» — нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество <все рефлексивные прилагательные>. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого — неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки:

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств:

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Пример:

Если

a) Найдите

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Следовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Из диаграммы получаем следующее:

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 — черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs — множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента — за В, 28 процентов — за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если есть элемент множества А, то используется запись если b не является элементом множества А, то записывают

Например, — множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е.

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

Пример 1. Даны множества Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств — их пересечение — а разностью — .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

— множество натуральных чисел.

— множество целых чисел;
— множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

— множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число.

Множество X, элементы которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком неравенству называется интервалом неравенствам называются полуинтервалом соответственно

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина «множество» являются термины «класс «семейство «совокупность». Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: «a принадлежит множеству A») или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = > или A = .