Уравнение падающей и отраженной волны

Падающие и отраженные волны

Если в уравнение для напряжения

Подставив вместо , получим:

И перейдем к синусоидальным функциям:

Из этих уравнений можно сформулировать следующие определения:

Падающей электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т.е. в направлении увеличения координаты х.

Электромагнитное состояние определяется совокупностью электрического и магнитного полей.

Падающая волна, распространяясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрических и магнитных полях.

Отраженной электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т.е. в сторону уменьшении координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения и падающей волной тока.

Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряжения и отраженной волной тока.

Минус у отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная волна, движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии, который несет падающая волна.

Каждая компонента падающей волны представляет синусоидальной колебание, амплитуда которого уменьшается по мере роста х (е -αх ), а аргумент является функцией времени и координаты х.

Каждая компонента отраженной электромагнитной волны затухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (е αх ). Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн, по мере их продвижения по линии, объясняется наличием потерь в линии.

Падающая волна распространяется слева направо. При построении принято .

Отраженная волна распространяется справа налево.

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению:

При холостом ходе k_U = 1.

Величина характеризует изменение амплитуды волны на единицу длины линии (коэффициент ослабления)

Коэффициент фазы равен изменению фазы на единицу длины.

Убывание амплитуды волны вдоль линии обуславливается потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

λ – длина волны, равная расстоянию между двумя точками линии, в которых фазы рассматриваемой слагающей отличаются на 2π, т.е.

При согласованной нагрузке k_U = 0

Режимом согласованной нагрузки называют такой режим, при котором сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению, т.е.

При этом отраженная волна будет отсутствовать, т.е.

Коэффициент отражения по току:

Фазовой скоростью называют скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания или иначе фазовая скорость – это скорость перемещения по линии несинусоидального фазового состояния.

Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то

Взяв производные по времени от обеих частей, получим:

При постоянном токе (ω = 0) понятия коэффициента фазы β и фазовой скорости теряют физический смысл.

Фазовая скорость обратной волны:

Знак минус указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном направлению прямой волны

Т.е. за время, равное одному периоду, падающие и отраженные волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.

Линии, физическая длина которых соизмерима с длиной волны считаются длинными линиями.

Линия без потерь

Независимо от того, соблюдается ли оптимальное соотношение параметров или не соблюдается, во всех случаях желательно, чтобы активные сопротивления R₀ и проводимости G₀ были по возможности малы, т.е.

В первом приближении рассматривают линию, не имеющую потерь (строго говоря таких линий не существует), т.е. полагают, что R₀ = G₀ = 0, тогда вторичные параметры линии (как указывалось выше) имеют вид:

(чисто активное)

,

Т.е. отсутствуют также фазовые искажения.

Выражения для коэффициента фазы β, фазовой скорости V_Ф и волн сопротивлением Z_B совпадают с выражениями, полученными для линии без искажений.

Для определения и в точке линии обратимся к известным формулам

Т.к. = 0, то

Линия без искажений

Неискаженной или линией без искажений называют такую линию, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.

Неодинаковое затухание на разных частотах создают так называемые амплитудные искажения, а неодинаковая скорость волн – фазовые искажения.

Для того, чтобы линия была неискажающей коэффициент затухания α и фазовая скорость V_Ф не должны зависеть от частоты. Такое условие будет выполняться, если между параметрами линиями будет иметь место следующее соотношение:

Обозначим

Из полученных формул следует, что коэффициент затухания α и фазовая скорость в линии без искажений зависит от частоты.

Волновое сопротивление в линии без искажений

является действительным числом и так же не зависит от частоты.

Для устранения искажений, вызванных несогласованностью сопротивления приемника с сопротивлением линии, применяют режим согласованной нагрузки, т.е. Z₂ = Z_B.

Ток и напряжение в линии при согласованной нагрузке определяется следующим образом:

При :

В начале линии при y = l:

U₂ – модуль, Ψ_U2 – аргумент ; I₂ – модуль, Ψ_I2 – аргумент

Коэффициент полезного действия в линии без искажений имеет наиболее возможное значение e -2α l , как и при согласованной нагрузке:

Т.к. при согласованной нагрузке угол между и также равен φ_В

Ввиду того, что Z_B линии без искажений является активным, при согласованной нагрузке напряжение и ток в любой точке линии совпадают по фазе, т.е.

Следовательно, на любом отрезке линии без искажений, нагруженной согласованно, энергия магнитного поля равна энергии электрического поля.

Следует заметить, что на практике , для того, чтобы приблизить линию к линии без искажений изменяют первичные параметры линии L₀, C₀, R₀, G₀.

Наилучшим средством приближения первичных параметров является искусственное увеличение L₀.

5.6. Падающие и отраженные волны в линии

Подставим в фор­мулу (5.13) A₂e j y п вместо , A₁e j y о вместо , заме­ним на a + jb, получим:

.

Аналогичную операцию проделаем с формулой (5.16), причем в дополнение заменим Z_в на z_вe j j в [см. формулу (5.17)]:

.

Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям времени умножим правые части формул (5.28) и (5.29) на и от произведений возьмем мнимую часть:

;

.

Падающей электромагнитной волной (рис. 5.4) называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т.е. в на­шем случае в направлении уве­личения координаты х. Элек­тромагнитное состояние опре­деляется совокупностью электрического и магнитного полей. Падающая волна, распростра­няясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, за­ключенную в ее электрическом и магнитном полях.

Отраженной электромагнитной волной (рис. 5.5) называют процесс пере­мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т.е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения [второе слагаемое формулы (5.30)] и падающей волной тока [второе слагаемое формулы (5.31)]. Отраженная электромагнит­ная волна образована отраженной волной напряжения [первое сла­гаемое формулы (5.30)] и отраженной волной тока [первое слагаемое формулы (5.31)].

Знак «минус» у отраженной волны то­ка свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отражен­ная электромагнитная волна, движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии, который несет с со­бой падающая волна.

Каждая компонента падающей вол­ны (волна напряжения или волна то­ка) представляет собой синусоидальное колебание, амплитуда которого уменьшается по мере роста х (множитель е — a x ), а аргумент является функ­цией времени и координаты х.

Каждая компонента отраженной электромагнитной волны за­тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (множитель е a x ).

Физически эффект умень-шения амплитуд падающей и отражен­ной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием по­терь в линии.

На рис. 5.4 изображены графики распределения падающей волны напря­жения вдоль линии (в функции x) для двух смежных моментов времени: t₁ и t₂ > t₁. Падающая волна распростра­няется слева направо. При построении принято wt₁ + y_п = 0.

На рис. 5.5 представлены графики распределения отраженной волны напряжения для двух смежных моментов времени: t₁ и t₂ > t₁

Отраженная волна распространяется справа налево.

Коэффициент отражения

Отношение напряжения отра­женной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обоз­начают К_и. В соответствии с формулой (5.13)

.

При согласованной нагрузке К_и = 0, при холостом ходе К_и = 1.

Коэффициент отражения по току К_i = -К_и

Фазовая скорость

Фазовой скоростью (u_ф) называют ско­рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость-это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то в соответствии с фор­мулой (5.28)

Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства:

(wt + y_{п –} b x) = 0, или w – b = 0.

Длина волны

Под длиной волны (c) понимают расстояние, на которое распространяется волна за один период T = 1/f:

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В цепях с распредпараметрами, например, в высоковольтных ЛЭП, обмотках электрических машин и трансформаторов и т. д. также могут возникать переходные процессы (ПП). Однако они могут возникать не только из-за коммутации, но и при изменении внешних электрических и магнитных полей. Так, если вблизи ЛЭП расположено заряженное облако (рис.9.1) и в результате молнии оно разрядилось на землю (а не на линию), то электроны, индуктированные на проводах линии теперь не будут притягиваться зарядами облака и начинают растекаться по ЛЭП в обе стороны – при этом возник переходный процесс. Аналогичная картина имеет место при изменении внешнего магнитного поля. По указанной причине расстраивается электросвязь во время магнитных бурь. ПП в ЛРП возникают и при передаче телефонных и телеграфных сигналов, телемеханических и специальных импульсов (например, для проверки линии или выявления места её повреждения). ПП в цепях с распредпараметрами имеют существенное значение для электроэнергетики, электросвязи, счетно-решающей техники, радиотехники и т. д.

Так как высоковольтные ЛЭП являются наиболее яркими представителями цепей с распредпараметрами, то в дальнейшем будем вести речь о ПП именно в них.

При расчете ПП в ЛЭП будем исходить из основных дифуравнений

где R0, L0, g0, C0 – первичные параметры линии; x – расстояние от начала линии до рассматриваемой точки; u, i – напряжение и ток в последней. Решение этих уравнений в общем виде пока не найдено, поэтому в ТОЭ переходные процессы изучаются в линиях без потерь, т. е. в линиях с R0 = 0 и g0 = 0. Это допущение практически вполне оправданно, т. к. реальные линии обычно отличаются малыми потерями. Изучение ПП при R0 = 0 и g0 = 0 дает возможность качественно исследовать основные черты процесса. В количественном отношении неучет R0 и g0 для начальных стадий ПП существенного влияния обычно не оказывает, однако для последующих стадий учет R0 и g0 желателен.

При R0 = 0 и g0 = 0 дифуравнения ЛРП принимают вид

Продифиринцировав первое уравнение по х, а второе по t, получим

откуда

или (1)

т. к. фазовая скорость в линии без потерь

Уравнение (1) – это дифуравнение второго порядка в частных производных. В математике оно известно под названием уравнения колебания струны. Его решение дано Даламбером и имеет вид: u=f1(x-vt)+f2(x+vt), где f1 и f2 –это с позиций математики функции, которые должны быть дважды дифференцируемыми и при подстановке в уравнение давать тождество, а с позиций электротехники – это напряжение падающей и отраженной волны.

Убедимся в том, что f1 действительно представляет собой напряжение падающей волны, т. е. волны, перемещающейся в сторону возрастания х. Для всех зачений х, при которых х-vt=const, она имеет одно и тоже значение. Допустим в некоторый момент времени t=t1 распределение волны вдоль линии может быть представлено графиком f1(x-vt1) (рис.9.2). Тогда для t = t1+Dt распределение f1 вдоль линии будет f1(x-vt1-vDt)= f1(x-Dx-vt1), где Dx= vDt. Из этого выражения следует, что кривая f1(t1+Dt) смещена на расстояние Dx относительно кривой f1(t1), причем смещена в сторону больших х. Таким образом, f1 представляет собой волну напряжения, перемещающуюся от начала линии к её концу, т. е. падающую волну. Начальный участок волны, первый перемещающийся по линии, называется её фронтом. Различают крутой и пологий фронт волны. Точка линии, для которой справедливо условие: при х>xф uпад=0, а при х хф uотр¹0.

Напомним, что в воздушных линиях скорость движения волн равна скорости света, а в кабельных – в два раза меньше.

Таким образом, во время ПП u = uпад + uотр. Для определения тока во время ПП используем формулу , откуда (1)

т. к. и

Проинтегрировав (1), получим

Выражения называются законом Ома для падающих и отраженных волн.

Итак во время ПП напряжение и ток в любой точке линии можно определять так:

Распространение прямоугольной волны вдоль линии бех потерь

Для выяснения физической стороны явлений, возникающих при движении волны, рассмотрим незаряженную линию, которая при t=0 подключается к идеальному источнику постоянной ЭДС. Сразу после замыкания рубильника по линии начнет перемещаться падающая электромагнитная волна, причем uпад=Е, iпад=Е/ZC. Эта волна создает электромагнитное поле. За время dt она переместится на расстояние dx=vdt и на фронте волны будет иметь место приращение потокосцепления dy = iL0dx. Согласно закону электромагнитной индукции это приведет к возникновению ЭДС

Таким образом, на фронте волны возникает ЭДС, в точности равная напряжению падающей волны и противоположная ему по знаку. Она то и придает напряжение (заряжает) последующие участки линии.

При движении волны по линии на поверхности верхнего провода накапливаются заряды одного знака, а на нижнем проводе – происходит накопление зарядов противоположного знака. За время dt, когда волна пройдет расстояние dx, приращение заряда составит величину dq = C0dxuпад = С0dxE. Это приведет к возникновению тока на всем протяжении участков линии, по которым волна прошла

Это соотношение говорит о том, что ток падающей волны – это ток заряда линии.

Электромагнитная волна, продвигаясь по линии, каждой единице её длины сообщает энергию электрического поля и энергию магнитного поля , которые равны друг другу. Действительно, поскольку , то

Схемы замещения для расчета падающих волн

Для расчета падающих волн используется схема замещения, составление которой проиллюстрируем на ряде примеров. Пусть ЛЭП, имеющая характеристическое сопротивление ZC, подключается к идеальному источнику постоянной ЭДС (рис.9.4,а).

Схема замещения имеет вид, приведенный на рис.9.4,б. В соответствии с этой схемой имеем , uпад = Е.

Если последовательно с источником включено активное сопротивление R0 (рис.9.5,а), то схема замещения имеет чуть более сложный вид (рис.9.5,б). По схеме замещения можно записать .

Когда последовательно с источником включена индуктивность L (рис.9.6,а), схема замещения принимает вид, приведенный на рис.9.6,б.

В отличие от двух предыдущих примеров в данной схеме замещения возникает переходный процесс, который может быть рассчитан любым известным методом, например, классическим. Правда в данном случае имеет место включение цепи, состоящей из активного сопротивления (ZC) и индуктивности, и формула для тока ПП нам известна: А uпад = ZC iпад . В данном случае падающая волна является функцией времени и по этому закону она изменяется в начале линии. Для того, чтобы получить выражение падающей волны для других точек линии, необходимо в полученном выражении заменить t на Такая замена учитывает процесс перемещения падающей волны от начала линии к концу со скоростью v. Тогда .

Рассмотрим еще один пример составления схемы замещения для расчета падающей волны, который отражен на рис.9.7,а. Отличие данного примера от всех предыдущих заключается в том, что в схеме замещения (рис.9.7,б) имеет место три тока, но для определения падающей волны необходимо определить ток в ветви с ZC, который может быть рассчитан любым известным методом. Полученное выражение будет функцией времени и определяет падающую волну в начале линии. Для того, чтобы получить выражение падающей волны для других точек линии, необходимо в полученном выражении заменить t на

Таким образом, падающую волну можно рассчитать по схеме замещения, в которой линия представлена своим ZC и для её определения необходимо рассчитать либо ток либо напряжение именно на ZC.

Схема замещения для расчета отраженных и преломленных волн

Когда падающая волна достигнет конца линии, к которой присоединена нагрузка или другая линия, то часть падающей волны проникнет в нагрузку, а часть отразится и возникнет отраженная волна. Для определения отраженной волны и волны, проникающей в нагрузку, применяется расчетная схема, которую принято называть схемой замещения для расчета отраженных и преломленных волн. Чтобы выяснить как составляется эта схема, обратимся к рис.9.8, на котором изображена ЛЭП, в конце которой включена нагрузка.

Пусть по линии движется падающая волна, которую будем считать известной. С того момента времени, когда она дойдет до конца линии, по нагрузке начнет протекать ток iн и на ней будет действовать напряжение uн. Напряжение и ток в любой точке линии можно представить как результат наложения падающих и отраженных волн. Это справедливо и для напряжения и тока вконце линии, т. е. uн = uпад + uотр ; iн = iпад – iотр , причем

Тогда или откуда .

Последнему уравнению удовлетворяет схема с сосредоточенными параметрами (рис.9.9), которая и является схемой замещения для расчета отраженных и преломленных волн. Эта схема состоит из последовательно соединенных ZС и сопротивления нагрузки линии, а главной её отличительной особенностью является то, что ЭДС равна 2uпад.

Для определения отраженной волны необходимо в схеме замещения любым методом произвести расчет либо тока нагрузки, либо напряжения uн во время ПП. Если по схеме замещения был рассчитан ток нагрузки, то iн(t) = iпад(t) – iотр(t), откуда iотр(t) = iпад(t) — iн(t). Если по схеме замещения определено uн, то uн(t) = uпад(t) + uотр(t), откуда uотр(t) = uн(t) — uпад(t). Кроме того uотр(t) = ZС iотр(t). Полученные выражения uотр(t) и iотр(t) являются функциями времени и по такому закону они изменябются в конце линии. Для получения общего выражения отраженных волн как в функции времени, так и в функции координаты, необходимо учесть процесс их перемещения от конца линии со скоростью v, а именно вместо t подставить t=t—y/v , т. е. uотр(t,y) = [uотр(t)]t=t—y/v.

В заключение напомним, что в воздушных линиях скорость движения волн равна скорости света, а в кабельных – в два раза ниже.

Отражение электромагнитной волны от активного сопротивления нагрузки

Если в конце линии, по которой перемещается известная падающая волна, подключено активное сапротивление нагрузки, то отраженную волну можно определить по схеме замещения с сосредоточенными параметрами (рис.9.10). В этой схеме как ZC, так и Rн являются чисто активными, поэтому uн и iн от времени не зависят и имеют следующие значения

Тогда где — есть коэффициент отражения.

Таким образом, при чисто активной нагрузке uотр = nuпад , eсли это выражение поделить на ZC, то получим iотр = niпад, т. е. отраженную волну легко рассчитать через коэффициент отражения.

Из формулы для n следует, что он может быть как положительным (при Rн > ZC), так и отрицательным (при Rн