Уравнение параболоида z x 2 y 2
Дано ур-ние поверхности 2-порядка:
$$x^ <2>— y^ <2>+ z = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_ <11>x^ <2>+ 2 a_ <12>x y + 2 a_ <13>x z + 2 a_ <14>x + a_ <22>y^ <2>+ 2 a_ <23>y z + 2 a_ <24>y + a_ <33>z^ <2>+ 2 a_ <34>z + a_ <44>= 0$$
где
$$a_ <11>= 1$$
$$a_ <12>= 0$$
$$a_ <13>= 0$$
$$a_ <14>= 0$$
$$a_ <22>= -1$$
$$a_ <23>= 0$$
$$a_ <24>= 0$$
$$a_ <33>= 0$$
$$a_ <34>= \frac<1><2>$$
$$a_ <44>= 0$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_ <1>= a_ <11>+ a_ <22>+ a_<33>$$
подставляем коэффициенты
$$I_ <1>= 0$$
$$I_ <3>= \left|\begin
$$I_ <4>= \left|\begin
$$I <\left (\lambda \right )>= \left|\begin
$$I_ <1>= 0$$
$$I_ <2>= -1$$
$$I_ <3>= 0$$
$$I_ <4>= \frac<1><4>$$
$$I <\left (\lambda \right )>= — \lambda^ <3>+ \lambda$$
$$K_ <2>= — \frac<1><4>$$
$$K_ <3>= 0$$
Т.к.
$$I_ <3>= 0 \wedge I_ <2>\neq 0 \wedge I_ <4>\neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_ <1>\lambda^ <2>+ I_ <2>\lambda — I_ <3>+ \lambda^ <3>= 0$$
или
$$\lambda^ <3>— \lambda = 0$$
$$\lambda_ <1>= 0$$
$$\lambda_ <2>= 1$$
$$\lambda_ <3>= -1$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde z 2 \sqrt<\frac<-1 I_<4>>
и
$$- 2 \tilde z \sqrt<- \frac
$$\tilde x^ <2>— \tilde y^ <2>+ \tilde z = 0$$
и
$$\tilde x^ <2>— \tilde y^ <2>— \tilde z = 0$$
это уравнение для типа гиперболический параболоид
— приведено к каноническому виду
Примеры
Уравнение | Канонический вид | Тип | Измерение |
---|---|---|---|
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 | x^2=1 | Две параллельные прямые | Линия |
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 | y^2=4*sqrt(2)*x | Парабола | Линия |
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 | x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0 | Вырожденный эллипс | Линия |
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0 | x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 | Эллипс | Линия |
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0 | z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1 | Мнимый эллипсоид | Поверхность |
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0 | x^2/1^2+y^2-z^2=-1 | Двухсторонний гиперболоид | Поверхность |
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0 | x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0 | Эллиптический параболоид | Поверхность |
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0 | x^2/=1/14 | Две параллельные плоскости | Поверхность |
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0)
этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом
, целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением
F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.
Эллипсоид:
Мнимый эллипсоид.
где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Эллипсоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается
Однополостной гиперболоид.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Однополостной гиперболоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается
эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостной гиперболоид.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям
Ox и Oy, – гипербола.
В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной
гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.
Эллиптический параболоид.
Свойства эллиптического параболоида.
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает:
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а
плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:
Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную
вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через
вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.
Линии и поверхности уровня
Содержание:
Линии и поверхности уровня
Понятие линии и поверхности уровня:
Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.
Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.
Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.
Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .
Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),
В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).
Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .
Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.
Поверхности второго порядка
Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 xz + 2a23 yz + a33 z 2 + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0.
В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.
Например:
1) — конус;
2) — полусфера;
Рис. 4.
3) — эллиптический параболоид;
Рис. 5.
4) — гиперболический параболоид;
рис.6
5) — трехосный эллипсоид.
Рис. 7.
Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C1, y = C2, z = C3. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.
Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C1 (C1 ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C1 (уравнение окружности). Положим y = C2 , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C3 , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.
Гиперповерхности уровня
Пусть задана функция от n переменных u = f (x1, x2, . xn) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x1, x2, . xn) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
http://www.calc.ru/Poverkhnosti-Vtorogo-Poryadka-Poverkhnosti-Vrashcheniya.html
http://natalibrilenova.ru/linii-i-poverhnosti-urovnya/