Уравнение параболы симметричной оси oy

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

**Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀**

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить y = x 2 ,
умножить ординаты всех точек графика на 2,
сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

2.5 Парабола

Парабола Есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Выберем систему координат таким образом (рисунок 2.7): за ось ОХ примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину О отрезка от точки F до директрисы, длину которого обозначим через Р и будем называть параметром параболы. Пусть М(Х, У) произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть точка N основание перпендикуляра, опущенного из М На директрису. По определению параболы MN = MF.

Из этого условия получаем Каноническое уравнение параболы в выбранной системе координат

Пусть P > 0, исследуем форму параболы.

Из канонического уравнения параболы видно, что Х не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси ОY. Уравнение содержит переменную У В квадрате, значит парабола симметрична относительно оси ОХ, эта ось называется Осью Параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью симметрии называется Вершиной параболы.
Для параболы, заданной уравнением (2.11), вершина совпадает с началом координат, а ось симметрии – с осью ОХ. График параболы имеет вид, изображенный на рисунке 2.7. Уравнение директрисы записывается в виде .

Фокус параболы для параболы с осью симметрии – осью Х имеет вид F(,0), а для параболы с осью симметрии осью Y – F(0,).

Определяет параболу, область определения которой .

Имеет вершину в начале координат, фокус , директрису ; ветви параболы направлены в положительную сторону оси OY и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы Х2 = –2Py. Осью симметрии такой параболы является ось ОY, а вершиной – начало координат.

Пример 2.4. Составить уравнение параболы и ее директрисы, зная, что она симметрична относительно оси ОY, фокус находится в точке F(0; 2), вершина совпадает с началом координат.

Решение. Будем искать уравнение параболы в виде Х2 = 2Py, так как по условию она симметрична относительно оси OY.

По условию , а значит, P = 4. Итак, искомое уравнение имеет вид Х2 = 8У, уравнение ее директрисы у = –2.

Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций

Параллельный перенос графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2=y_1 при x_2=x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3 $
График смещается влево на 3 по оси OX
$y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$
График смещается влево на 3 по оси OX
Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x-a) $$
где $a \gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$
График смещается вправо на 2 по оси OX
$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$
График смещается вправо на 2 по оси OX
$y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$
График смещается вправо на 2 по оси OX
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a), \quad a \gt 0 $$
график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(x-a), a \gt 0 $$
график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Параллельный перенос графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a$$
где $a \gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$
График смещается вверх на 1 по оси OY
$ y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1 $
График смещается вверх на 1 по оси OY
$y_2 = f(x)+1 = \sqrt+1$
$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$
График смещается вверх на 1 по оси OY
Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a $$
где $a \gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$
График смещается вниз на 2 по оси OY
$ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$
График смещается вниз на 2 по оси OY
$y_2 = f(x)-2 = \sqrt-2$
$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$
График смещается вниз на 2 по оси OY
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a, \quad a \gt 0 $$
график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a, \quad a \gt 0 $$
график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Симметрия относительно оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$$
$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$
График симметричен относительно оси OX
$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$
График симметричен относительно оси OX
Графики функций $y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$ симметричны относительно оси OX.
Это справедливо для любой функции f(x).
Симметрия относительно оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$$
$y_2=y_1 при x_2 = -x_1$
График симметричен относительно оси OY
$y_2 = y_1 при x_2 = -x_1$
График симметричен относительно оси OY
Графики функций $y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$ симметричны относительно оси OY.
Это справедливо для любой функции f(x).
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции
$$ y = x^2, \quad y = (x-3)^2, \quad y = (x-3)^2+2, \quad y = -x^2 $$
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2$:
график функции $y = f(x-3) = (x-3)^2$ сдвинут вправо на 3 по OX(→)
график функции $y = f(x-3)+2 = (x-3)^2+2 $ сдвинут вправо на 3 по OX и вверх на 2 по OY(↑)
график функции $y = -f(x) = -x^2$ симметричен относительно оси OX.
Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции
$$ y = \sqrt, \quad y = \sqrt<-x+1>, \quad y = — \sqrt, \quad y = — \sqrt-3 $$
По сравнению с графиком $y = f(x) = \sqrt$:
график функции $y = f(-x) = \sqrt<-x+1>$ симметричен относительно оси OY
график функции $y = -f(x) = — \sqrt$ симметричен относительно оси OX
график функции $y = -f(x)-3 = -x^2$ симметричен относительно оси OX и сдвинут вниз на 3 по оси OY(↓).

источники:
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/iunit-1-analiticheskaia-geometriia-na-ploskosti/2-5-parabola
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/parallelnyj-perenos-i-simmetrichnye-otobrazheniya-grafikov-funkcij/