Парабола
Парабола, её форма, фокус и директриса.
Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2px\label
$$
при условии \(p > 0\).
Из уравнения \eqref
Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^<2>\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^<-1>\).
Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.
Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).
Рис. 8.11. Парабола.
Свойства параболы.
Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac
<2>.\label
$$
Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>\) и подставим сюда \(y^<2>\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=\left(x-\frac
<2>\right)^<2>+2px=\left(x+\frac
<2>\right)^<2>.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref
Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac
<2>.\nonumber
$$
Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.
Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.
Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt<\left(x-\frac
<2>\right)^<2>+y^<2>>=x+\frac
<2>.\nonumber
$$
Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref
Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\), лежащей на ней. Пусть \(y_ <0>\neq 0\). Через точку \(M_<0>\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt<2px>\) или же \(y=-\sqrt<2px>\), смотря по знаку \(y_<0>\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^<2>=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_<0>\) и \(f(x_<0>)=y_<0>\), находим \(f'(x_<0>)=p/y_<0>\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=\frac
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_<0>^<2>=2px_<0>\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).\label
$$
Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_ <0>\neq 0\), уравнение \eqref
Касательная к параболе в точке \(M_<0>\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_<0>\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).
Рассмотрим касательную в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\). Из уравнения \eqref
$$
(\overrightarrow
<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+\frac
<2>).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow
Заметим, что \(|FN|=|FM_<0>|\) (см. рис. 8.12).
Урок 11
Директрисы эллиПса и гиПерболы.
Директрисы эллиПса и гиПерболы.
оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные большой оси эллиПса и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами эллиПса (гДе а — большая Полуось эллиПса, e — эксцентриситет)
оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные Действительной оси гиПерболы и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами гиПерболы (гДе а — Действительная Полуось, e — эксцентриситет)
уравнения Директрис эллиПса и гиПерболы имеют виД: х= ± а/e.
с Помощью Понятия Директрисы и эксцентриситета можно сформулировать общее свойство, Присущее эллиПсу и гиПерболе.
теорема. если r — расстояние от Произвольной точки м эллиПса (гиПерболы) До какого-нибуДь фокуса, d — расстояние от этой же точки До соответствующей этому фокусу Директрисы, то отношение r/d есть Постоянная величина, равная эксцентриситету эллиПса (гиПерболы).
Данное свойство можно Положить в основу общего оПреДеления этих линий: множество точек, Для которых отношение расстояний До фокуса и До соответствующей Директрисы является величиной Постоянной, равной e, есть эллиПс, если e 1.
возникает воПрос, что ПреДставляет собой множество точек, При условии e=1. оказывается, это новая линия второго ПоряДка, называемого Параболой.
оПреДеление. Параболой называется множество всех точек Плоскости, кажДая из которых нахоДится на оДинаковом расстоянии от Данной точки, называемой фокусом, и от Данной Прямой, называемой Директрисой и не ПрохоДящей через фокус.
Пусть м(х,у) — Произвольная точка Параболы. обозначим через r расстояние от точки м До фокуса f, через d — расстояние от точки м До Директрисы, а через P — расстояние от фокуса До Директрисы.
величину P называют Параметром Параболы. точка м лежит на Параболе, если r=P.
уравнение Параболы: у 2 =2Pх (каноническое уравнение).
исслеДуем форму Параболы По ее каноническому уравнению (Для не отрицательных значений у):
если х у 2 =2Pх
Пример. Дано уравнение Параболы у 2 =6х. составьте уравнение ее Директрисы и найти коорДинаты фокуса.
решение. сравнивая Данное уравнение с каноническим уравнением Параболы, Получим, что 2р=6, откуДа р=3. так как фокус Параболы имеет коорДинаты (р/2;0), а Директриса — уравнение х=-р/2, то Для Данной Параболы Получаем: коорДинаты фокуса (1,5; 0) и уравнение Директрисы х=-1,5.
уПражнения .
- составьте уравнение Параболы с вершиной в начале коорДинат и уравнение Директрисы Параболы, если известно, что осью симметрии является ось ох и что точка Пересечения Прямых у=х и у=2-х лежит на Параболе. (ответ: у 2 =х и х=-0,25)
- Даны точки а(-1;0) и в(2;0). точка м(х;у) Движется так, что в треугольнике амв угол авм остается вДвое больше угла мав. оПреДелить траекторию точки м. (ответ: гиПербола)
- Доказать, что если оси Двух Парабол взаимно ПерПенДикулярны и Параболы Пересекаются в четырех точках, то эти точки Пересечения лежат на оДной окружности.
Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области
Парабола — определение и вычисление с примерами решения
Парабола:
Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.
Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы
Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы.
Возведем обе части уравнения в квадрат
Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: (а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).
Рис. 35а. Параболы и их уравнения.
Рис. 356. Параболы и их уравнения.
Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:
- — точка пересечения параболы с осью абсцисс;
- — точка пересечения параболы с осью ординат.
Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.
Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.
Пример:
Дано уравнение параболы Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.
Решение:
Так как из уравнения параболы следует, что следовательно, Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке а уравнение директрисы имеет вид
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы до её асимптоты.
Решение:
Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.
Гипербола:
Следовательно, действительная полуось гиперболы а мнимая полуось — Гипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы Итак, Вычислим расстояние от фокуса до асимптоты которое равно параметру р:
Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид:
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса Написать уравнение директрисы.
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс:
Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как , то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Так как фокус параболы совпадает с одним из фокусов или эллипса, то параметр р найдем из равенства уравнение параболы имеет вид Директриса определяется уравнением
Уравнение параболоида вращения
Пусть вертикальная парабола
расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).
Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).
Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем
Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения
Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Многогранник
- Решение задач на вычисление площадей
- Тела вращения: цилиндр, конус, шар
- Четырехугольник
- Многогранники
- Окружность
- Эллипс
- Гипербола
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://analit-geometr.5311pro2.edusite.ru/p31aa1.html
http://www.evkova.org/parabola