Уравнение парной линейной регрессии вывод

Парная линейная регрессия. Задачи регрессионного анализа

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие линейной регрессии. Парная линейная регрессия

Линейная регрессия — выраженная в виде прямой зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины. В отличие от функциональной зависимости y = f(x) , когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y, при линейной регрессии одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y.

Если в результате наблюдения установлено, что при каждом определённом значении x существует сколько-то (n) значений переменной y, то зависимость средних арифметических значений y от x и является регрессией в статистическом понимании.

Если установленная зависимость может быть записана в виде уравнения прямой

то эта регрессионная зависимость называется линейной регрессией.

О парной линейной регрессии говорят, когда установлена зависимость между двумя переменными величинами (x и y). Парная линейная регрессия называется также однофакторной линейной регрессией, так как один фактор (независимая переменная x) влияет на результирующую переменную (зависимую переменную y).

В уроке о корреляционной зависимости были разобраны примеры того, как цена на квартиры зависит от общей площади квартиры и от площади кухни (две различные независимые переменные) и о том, что результаты наблюдений расположены в некотором приближении к прямой, хотя и не на самой прямой. Если точки корреляционной диаграммы соединить ломанной линией, то будет получена линия эмпирической регрессии. А если эта линия будет выровнена в прямую, то полученная прямая будет прямой теоретической регрессии. На рисунке ниже она красного цвета (для увеличения рисунка щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши).

По этой прямой теоретической регрессии может быть сделан прогноз или восстановление неизвестных значений зависимой переменной по заданным значениям независимой переменной.

В случае парной линейной регрессии для данных генеральной совокупности связь между независимой переменной (факториальным признаком) X и зависимой переменной (результативным признаком) Y описывает модель

— свободный член прямой парной линейной регрессии,

— коэффициент направления прямой парной линейной регрессии,

— случайная погрешность,

N — число элементов генеральной совокупности.

Уравнение парной линейной регрессии для генеральной совокупности можно построить, если доступны данные обо всех элементах генеральной совокупности. На практике данные всей генеральной совокупности недоступны, но доступны данные об элементах некоторой выборки.

Поэтому параметры генеральной совокупности оценивают при помощи соответствующих параметров соответствующей выборки: свободный член прямой парной линейной регрессии генеральной совокупности заменяют на свободный член прямой парной линейной регрессии выборки , а коэффициент направления прямой парной линейной регрессии генеральной совокупности — на коэффициент направления прямой парной линейной регрессии выборки .

В результате получаем уравнение парной линейной регрессии выборки

— оценка полученной с помощью модели линейной регрессии зависимой переменной Y,

— погрешность,

n — размер выборки.

Чтобы уравнение парной линейной регрессии было более похоже на привычное уравнение прямой, его часто также записывают в виде

Уравнение парной линейной регрессии и метод наименьших квадратов

Определение коэффициентов уравнения парной линейной регрессии

Если заранее известно, что зависимость между факториальным признаком x и результативным признаком y должна быть линейной, выражающейся в виде уравнения типа , задача сводится к нахождению по некоторой группе точек наилучшей прямой, называемой прямой парной линейной регрессии. Следует найти такие значения коэффициентов a и b , чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей:

Если через и обозначить средние значения признаков X и Y,то полученная с помощью метода наименьших квадратов функция регрессии удовлетворяет следующим условиям:

прямая парной линейной регрессии проходит через точку ;
среднее значение отклонений равна нулю: ;
значения и не связаны: .

Условие метода наименьших квадратов выполняется, если значения коэффициентов равны:

Пример 1. Найти уравнение парной линейной регрессии зависимости между валовым внутренним продуктом (ВВП) и частным потреблением на основе данных примера урока о корреляционной зависимости (эта ссылка, которая откроется в новом окне, потребуется и при разборе следующих примеров).

Решение. Используем рассчитанные в решении названного выше примера суммы:

Используя эти суммы, вычислим коэффициенты:

Таким образом получили уравнение прямой парной линейной регрессии:

Составить уравнение парной линейной регрессии самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Найти уравнение парной линейной регрессии для выборки из 6 наблюдений, если уже вычислены следующие промежуточные результаты:

;

Анализ качества модели линейной регрессии

Метод наименьших квадратов имеет по меньшей мере один существенный недостаток: с его помощью можно найти уравнение линейной регрессии и в тех случаях, когда данные наблюдений значительно рассеяны вокруг прямой регрессии, то есть находятся на значительном расстоянии от этой прямой. В таких случаях за точность прогноза значений зависимой переменной ручаться нельзя. Существуют показатели, которые позволяют оценить качество уравнения линейной регрессии прежде чем использовать модели линейной регрессии для практических целей. Разберём важнейшие из этих показателей.

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1 и в случае качественной модели линейной регрессии стремится к единице. Коэффициент детерминации показывает, какую часть общего рассеяния зависимой переменной объясняет независимая переменная:

— сумма квадратов отклонений, объясняемых моделью линейной регрессии, которая характеризует рассеяние точек прямой регрессии относительно арифметического среднего,

— общая сумма квадратов отклонений, которая характеризует рассеяние зависимой переменной Y относительно арифметического среднего,

— сумма квадратов отклонений ошибки (не объясняемых моделью линейной регрессии), которая характеризует рассеяние зависимой переменной Y относительно прямой регресии.

Пример 3. Даны сумма квадратов отклонений, объясняемых моделью линейной регрессии (3500), общая сумма квадратов отклонений (5000) и сумма квадратов отклонений ошибки (1500). Найти коэффициент детерминации двумя способами.

F-статистика (статистика Фишера) для проверки качества модели линейной регрессии

Минимальное возможное значение F-статистики — 0. Чем выше значение статистики Фишера, тем качественнее модель линейной регрессии. Этот показатель представляет собой отношение объясненной суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы):

где m — число объясняющих переменных.

Сумма квадратов остатков

Сумма квадратов остатков (RSS) измеряет необъясненную часть дисперсии зависимой переменной:

—

остатки — разности между реальными значениями зависимой переменной и значениями, оценёнными уравнением линейной регрессии.

В случае качественной модели линейной регрессии сумма квадратов остатков стремится к нулю.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии (SEE) измеряет величину квадрата ошибки, приходящейся на одну степень свободы модели:

Чем меньше значение SEE, тем качественнее модель.

Пример 4. Рассчитать коэффициент детерминации для данных из примера 1.

Решение. На основании данных таблицы (она была приведена в примере урока о корреляционной зависимости) получаем, что SST = 63 770,593 , SSE = 10 459,587 , SSR = 53 311,007 .

Можем убедиться, что выполняется закономерность SSR = SST — SSE :

Получаем коэффициент детерминации:

Таким образом, 83,6% изменений частного потребления можно объяснить моделью линейной регресии.

Интерпретация коэффициентов уравнения парной линейной регрессии и прогноз значений зависимой переменной

Итак, уравнение парной линейной регрессии:

В этом уравнении a — свободный член, b — коэффициент при независимой переменной.

Интерпретация свободного члена: a показывает, на сколько единиц график регрессии смещён вверх при x=0, то есть значение переменной y при нулевом значении переменной x.

Интерпретация коэффициента при независимой переменной: b показывает, на сколько единиц изменится значение зависимой переменной y при изменении x на одну единицу.

Пример 5. Зависимость частного потребления граждан от ВВП (истолкуем это просто: от дохода) описывается уравнением парной линейной регрессии . Сделать прогноз потребления при доходе в 20 000 у.е. Выяснить, на сколько увеливается потребление при увеличении дохода на 5000 у.е. Меняется ли потребление, если доход не меняется?

Решение. Подставляем в уравнение парной линейной регрессии x i = 20000 и получаем прогноз потребления при доходе в 20 000 у.е. y i = 17036,4662 .

Подставляем в уравнение парной линейной регрессии x i = 5000 и получаем прогноз увеличения потребления при увеличении дохода на 5000 у.е. y i = 4161,9662 .

Если доход не меняется, то x i = 0 и получаем, что потребление уменьшается на 129,5338 у.е.

Задачи регрессионного анализа

Регрессионный анализ — раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным.

Наиболее частые задачи регрессионного анализа:

установление факта наличия или отсутствия статистических зависимостей между переменными величинами;
выявление причинных связей между переменными величинами;
прогноз или восстановление неизвестных значений зависимых переменных по заданным значениям независимых переменных.

Также делаются проверки статистических гипотез о регрессии. Кроме того, при изучении связи между двумя величинами по результатам наблюдений в соответствии с теорией регрессии предполагается, что зависимая переменная имеет некоторое распределение вероятностей при фиксированном значении независимой переменной.

В исследованиях поведения человека, чтобы они претендовали на объективность, важно не только установить зависимость между факторами, но и получить все необходимые статистические показатели для результата проверки соответствующей гипотезы.

Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента направления прямой парной линейной регрессии

Одна из важнейших гипотез в регрессионном анализе — гипотеза о том, что коэффициент направления прямой регрессии генеральной совокупности равен нулю.

Если это предположение верно, то изменения независимой переменной X не влияют на изменения зависимой переменной Y: переменные X и Y не коррелированы, то есть линейной зависимости Y от X нет.

рассматривают во взаимосвязи с альтернативной гипотезой

Статистика коэффициента направления

соответствует распределению Стьюдента с числом степеней свободы v = n — 2 ,

где — стандартная погрешность коэффициента направления прямой линейной регресии b 1 .

Доверительный интервал коэффициента направления прямой линейной регрессии:

Критическая область, в которой с вероятностью P = 1 — α отвергают нулевую гипотезу и принимают альтернативную гипотезу:

Пример 6. На основе данных из предыдущих примеров (о ВВП и частном потреблении) определить доверительный интервал коэффициента направления прямой линейной регресии 95% и проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента направления прямой парной линейной регрессии.

Можем рассчитать, что , а стандартная погрешность регрессии .

Таким образом, стандартная погрешность коэффициента направления прямой линейной регресии b 1 :

Так как и (находим по таблице в приложениях к учебникам по статистике), то доверительный интервал 95% коэффициента направления прямой парной линейной регрессии:

Так как гипотетическое значение коэффициента — нуль — не принадлежит доверительному интервалу, с вероятностью 95% можем отвергнуть основную гипотезу и принять альтернативную гипотезу, то есть считать, что зависимая переменная Y линейно зависит от независимой переменной X.

Уравнение регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

В сервисе для нахождения параметров регрессии используется МНК. Система нормальных уравнений для линейной регрессии: . Также можно получить ответ, используя матричный метод. см. также Статистические функции в Excel

Уравнение парной регрессии относится к уравнению регрессии первого порядка. Если эконометрическая модель содержит только одну объясняющую переменную, то она имеет название парной регрессии. Уравнение регрессии второго порядка и уравнение регрессии третьего порядка относятся к нелинейным уравнениям регрессии.

Пример . Осуществите выбор зависимой (объясняемой) и объясняющей переменной для построения парной регрессионной модели. Дайте графическое изображение регрессионной зависимости. Определите теоретическое уравнение парной регрессии. Оцените адекватность построенной модели (интерпретируйте R-квадрат, показатели t-статистики, F-статистики).
Решение будем проводить на основе процесса эконометрического моделирования.
1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли.
Спецификация модели — определение цели исследования и выбор экономических переменных модели.
Ситуационная (практическая) задача. По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x (в %).
2-й этап (априорный) – предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации и исходных допущений, в частности относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда гипотез.
Уже на этом этапе можно говорить о явной зависимости уровня квалификации рабочего и его выработкой, ведь чем опытней работник, тем выше его производительность. Но как эту зависимость оценить?
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x , т. е. модель вида:

Контрольная работа: Парная регрессия

Смысл регрессионного анализа – построение функциональных зависимостей между двумя группами переменных величин Х₁ , Х₂ , … Х_р и Y. При этом речь идет о влиянии переменных Х (это будут аргументы функций) на значения переменной Y (значение функции). Переменные Х мы будем называть факторами, а Y – откликом.

Наиболее простой случай – установление зависимости одного отклика y от одного фактора х. Такой случай называется парной (простой) регрессией.

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у иx :

где у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней

•равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная ;

• показательная

• экспоненциальная

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b :

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии

и индекс корреляции — для нелинейной регрессии ():

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений – не более 8 – 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где – общая сумма квадратов отклонений;

– сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

–остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R 2 :

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F -тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F -критерия Фишера. F _факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

п – число единиц совокупности;

т – число параметров при переменных х.

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл F_факт , то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики – t_табл и t_факт – принимаем или отвергаем гипотезу H_о .

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством

Если t_табл t_факт , то гипотеза Н_о не отклоняется и признается случайная природа формирования a , b или .

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :

где

и строится доверительный интервал прогноза:

где

По 22 регионам страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров, y от среднедушевых денежных доходов в месяц, x (табл. 1):

Название: Парная регрессия
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 13:41:57 15 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 3780 Комментариев: 22 Оценило: 4 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно Скачать

№ региона	X	Y
1,000	2,800	28,000
2,000	2,400	21,300
3,000	2,100	21,000
4,000	2,600	23,300
5,000	1,700	15,800
6,000	2,500	21,900
7,000	2,400	20,000
8,000	2,600	22,000
9,000	2,800	23,900
10,000	2,600	26,000
11,000	2,600	24,600
12,000	2,500	21,000
13,000	2,900	27,000
14,000	2,600	21,000
15,000	2,200	24,000
16,000	2,600	34,000
17,000	3,300	31,900
19,000	3,900	33,000
20,000	4,600	35,400
21,000	3,700	34,000
22,000	3,400	31,000

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. С помощью F-критерия Фишера определите статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. Выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата по линейному уравнению регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

1. Поле корреляции для:

· Линейной регрессии y=a+b*x:

Гипотеза о форме связи: чем больше размер среднедушевого денежного дохода в месяц (факторный признак), тем больше при прочих равных условиях розничная продажа телевизоров (результативный признак). В данной модели параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака у при отклонении величины факторного признаках на одну единицу.

· Степенной регрессии :

Гипотеза о форме связи : степенная функция имеет вид Y=ax b .

Параметр b степенного уравнения называется показателем эластичности и указывает, на сколько процентов изменится у при возрастании х на 1%. При х = 1 a = Y.

· Экспоненциальная регрессия :

· Равносторонняя гипербола :

Гипотеза о форме связи: В ряде случаев обратная связь между факторным и результативным признаками может быть выражена уравнением гиперболы: Y=a+b/x.

· Обратная гипербола :

· Полулогарифмическая регрессия :

· Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитываем ∑y, ∑x, ∑yx, ∑x 2 , ∑y 2 (табл. 2):

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	Y^cp	Y-Y^cp	Ai
1	2,800	28,000	78,400	7,840	784,000	25,719	2,281	0,081
2	2,400	21,300	51,120	5,760	453,690	22,870	-1,570	0,074
3	2,100	21,000	44,100	4,410	441,000	20,734	0,266	0,013
4	2,600	23,300	60,580	6,760	542,890	24,295	-0,995	0,043
5	1,700	15,800	26,860	2,890	249,640	17,885	-2,085	0,132
6	2,500	21,900	54,750	6,250	479,610	23,582	-1,682	0,077
7	2,400	20,000	48,000	5,760	400,000	22,870	-2,870	0,144
8	2,600	22,000	57,200	6,760	484,000	24,295	-2,295	0,104
9	2,800	23,900	66,920	7,840	571,210	25,719	-1,819	0,076
10	2,600	26,000	67,600	6,760	676,000	24,295	1,705	0,066
11	2,600	24,600	63,960	6,760	605,160	24,295	0,305	0,012
12	2,500	21,000	52,500	6,250	441,000	23,582	-2,582	0,123
13	2,900	27,000	78,300	8,410	729,000	26,431	0,569	0,021
14	2,600	21,000	54,600	6,760	441,000	24,295	-3,295	0,157
15	2,200	24,000	52,800	4,840	576,000	21,446	2,554	0,106
16	2,600	34,000	88,400	6,760	1156,000	24,295	9,705	0,285
17	3,300	31,900	105,270	10,890	1017,610	29,280	2,620	0,082
19	3,900	33,000	128,700	15,210	1089,000	33,553	-0,553	0,017
20	4,600	35,400	162,840	21,160	1253,160	38,539	-3,139	0,089
21	3,700	34,000	125,800	13,690	1156,000	32,129	1,871	0,055
22	3,400	31,000	105,400	11,560	961,000	29,992	1,008	0,033
Итого	58,800	540,100	1574,100	173,320	14506,970	540,100	0,000
сред значение	2,800	25,719	74,957	8,253	690,808	0,085
станд. откл	0,643	5,417

Система нормальных уравнений составит:

Ур-ие регрессии: = 5,777+7,122∙x. Данное уравнение показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс. руб. доля розничных продаж телевизоров повышается в среднем на 7,12%.

· Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 3:

№ рег	X	Y	XY	X^2	Y^2	Yp^cp	y^cp
1	1,030	3,332	3,431	1,060	11,104	3,245	25,67072
2	0,875	3,059	2,678	0,766	9,356	3,116	22,56102
3	0,742	3,045	2,259	0,550	9,269	3,004	20,17348
4	0,956	3,148	3,008	0,913	9,913	3,183	24,12559
5	0,531	2,760	1,465	0,282	7,618	2,827	16,90081
6	0,916	3,086	2,828	0,840	9,526	3,150	23,34585
7	0,875	2,996	2,623	0,766	8,974	3,116	22,56102
8	0,956	3,091	2,954	0,913	9,555	3,183	24,12559
9	1,030	3,174	3,268	1,060	10,074	3,245	25,67072
10	0,956	3,258	3,113	0,913	10,615	3,183	24,12559
11	0,956	3,203	3,060	0,913	10,258	3,183	24,12559
12	0,916	3,045	2,790	0,840	9,269	3,150	23,34585
13	1,065	3,296	3,509	1,134	10,863	3,275	26,4365
14	0,956	3,045	2,909	0,913	9,269	3,183	24,12559
15	0,788	3,178	2,506	0,622	10,100	3,043	20,97512
16	0,956	3,526	3,369	0,913	12,435	3,183	24,12559
17	1,194	3,463	4,134	1,425	11,990	3,383	29,4585
19	1,361	3,497	4,759	1,852	12,226	3,523	33,88317
20	1,526	3,567	5,443	2,329	12,721	3,661	38,90802
21	1,308	3,526	4,614	1,712	12,435	3,479	32,42145
22	1,224	3,434	4,202	1,498	11,792	3,408	30,20445
итого	21,115	67,727	68,921	22,214	219,361	67,727	537,270
сред зн	1,005	3,225	3,282	1,058	10,446	3,225
стан откл	0,216	0,211

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y .

· Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 4:

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	Yp	y^cp
1	2,800	3,332	9,330	7,840	11,104	3,225	25,156
2	2,400	3,059	7,341	5,760	9,356	3,116	22,552
3	2,100	3,045	6,393	4,410	9,269	3,034	20,777
4	2,600	3,148	8,186	6,760	9,913	3,170	23,818
5	1,700	2,760	4,692	2,890	7,618	2,925	18,625
6	2,500	3,086	7,716	6,250	9,526	3,143	23,176
7	2,400	2,996	7,190	5,760	8,974	3,116	22,552
8	2,600	3,091	8,037	6,760	9,555	3,170	23,818
9	2,800	3,174	8,887	7,840	10,074	3,225	25,156
10	2,600	3,258	8,471	6,760	10,615	3,170	23,818
11	2,600	3,203	8,327	6,760	10,258	3,170	23,818
12	2,500	3,045	7,611	6,250	9,269	3,143	23,176
13	2,900	3,296	9,558	8,410	10,863	3,252	25,853
14	2,600	3,045	7,916	6,760	9,269	3,170	23,818
15	2,200	3,178	6,992	4,840	10,100	3,061	21,352
16	2,600	3,526	9,169	6,760	12,435	3,170	23,818
17	3,300	3,463	11,427	10,890	11,990	3,362	28,839
19	3,900	3,497	13,636	15,210	12,226	3,526	33,978
20	4,600	3,567	16,407	21,160	12,721	3,717	41,140
21	3,700	3,526	13,048	13,690	12,435	3,471	32,170
22	3,400	3,434	11,676	11,560	11,792	3,389	29,638
Итого	58,800	67,727	192,008	173,320	219,361	67,727	537,053
сред зн	2,800	3,225	9,143	8,253	10,446
стан откл	0,643	0,211

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x .

· Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:

где

Для расчетов используем данные табл. 5:

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	y^cp
1	1,030	28,000	28,829	1,060	784,000	26,238
2	0,875	21,300	18,647	0,766	453,690	22,928
3	0,742	21,000	15,581	0,550	441,000	20,062
4	0,956	23,300	22,263	0,913	542,890	24,647
5	0,531	15,800	8,384	0,282	249,640	15,525
6	0,916	21,900	20,067	0,840	479,610	23,805
7	0,875	20,000	17,509	0,766	400,000	22,928
8	0,956	22,000	21,021	0,913	484,000	24,647
9	1,030	23,900	24,608	1,060	571,210	26,238
10	0,956	26,000	24,843	0,913	676,000	24,647
11	0,956	24,600	23,506	0,913	605,160	24,647
12	0,916	21,000	19,242	0,840	441,000	23,805
13	1,065	27,000	28,747	1,134	729,000	26,991
14	0,956	21,000	20,066	0,913	441,000	24,647
15	0,788	24,000	18,923	0,622	576,000	21,060
16	0,956	34,000	32,487	0,913	1156,000	24,647
17	1,194	31,900	38,086	1,425	1017,610	29,765
19	1,361	33,000	44,912	1,852	1089,000	33,351
20	1,526	35,400	54,022	2,329	1253,160	36,895
21	1,308	34,000	44,483	1,712	1156,000	32,221
22	1,224	31,000	37,937	1,498	961,000	30,406
Итого	21,115	540,100	564,166	22,214	14506,970	540,100
сред зн	1,005	25,719	26,865	1,058	690,808
стан откл	0,216	5,417

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: .

· Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель к линейному виду, заменив , тогда

Для расчетов используем данные табл. 6:

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	Y^cp
1	2,800	0,036	0,100	7,840	0,001	24,605
2	2,400	0,047	0,113	5,760	0,002	22,230
3	2,100	0,048	0,100	4,410	0,002	20,729
4	2,600	0,043	0,112	6,760	0,002	23,357
5	1,700	0,063	0,108	2,890	0,004	19,017
6	2,500	0,046	0,114	6,250	0,002	22,780
7	2,400	0,050	0,120	5,760	0,003	22,230
8	2,600	0,045	0,118	6,760	0,002	23,357
9	2,800	0,042	0,117	7,840	0,002	24,605
10	2,600	0,038	0,100	6,760	0,001	23,357
11	2,600	0,041	0,106	6,760	0,002	23,357
12	2,500	0,048	0,119	6,250	0,002	22,780
13	2,900	0,037	0,107	8,410	0,001	25,280
14	2,600	0,048	0,124	6,760	0,002	23,357
15	2,200	0,042	0,092	4,840	0,002	21,206
16	2,600	0,029	0,076	6,760	0,001	23,357
17	3,300	0,031	0,103	10,890	0,001	28,398
19	3,900	0,030	0,118	15,210	0,001	34,844
20	4,600	0,028	0,130	21,160	0,001	47,393
21	3,700	0,029	0,109	13,690	0,001	32,393
22	3,400	0,032	0,110	11,560	0,001	29,301
Итого	58,800	0,853	2,296	173,320	0,036	537,933
сред знач	2,800	0,041	0,109	8,253	0,002
стан отклон	0,643	0,009

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x .

· Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы к линейному виду, заменив , тогда

Для расчетов используем данные табл. 7:

№ региона	X=1/z	Y	XY	X^2	Y^2	Y^cp
1	0,357	28,000	10,000	0,128	784,000	26,715
2	0,417	21,300	8,875	0,174	453,690	23,259
3	0,476	21,000	10,000	0,227	441,000	19,804
4	0,385	23,300	8,962	0,148	542,890	25,120
5	0,588	15,800	9,294	0,346	249,640	13,298
6	0,400	21,900	8,760	0,160	479,610	24,227
7	0,417	20,000	8,333	0,174	400,000	23,259
8	0,385	22,000	8,462	0,148	484,000	25,120
9	0,357	23,900	8,536	0,128	571,210	26,715
10	0,385	26,000	10,000	0,148	676,000	25,120
11	0,385	24,600	9,462	0,148	605,160	25,120
12	0,400	21,000	8,400	0,160	441,000	24,227
13	0,345	27,000	9,310	0,119	729,000	27,430
14	0,385	21,000	8,077	0,148	441,000	25,120
15	0,455	24,000	10,909	0,207	576,000	21,060
16	0,385	34,000	13,077	0,148	1156,000	25,120
17	0,303	31,900	9,667	0,092	1017,610	29,857
19	0,256	33,000	8,462	0,066	1089,000	32,564
20	0,217	35,400	7,696	0,047	1253,160	34,829
21	0,270	34,000	9,189	0,073	1156,000	31,759
22	0,294	31,000	9,118	0,087	961,000	30,374
Итого	7,860	540,100	194,587	3,073	14506,970	540,100
сред знач	0,374	25,719	9,266	0,146	1318,815
стан отклон	0,079	25,639

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: . Получим уравнение регрессии: .

3. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации :

· Линейная модель. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции. Был получен следующий коэффициент корреляции r_xy =b=7,122*, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата. Коэффициент детерминации r²_xy =(0,845)²=0,715. Это означает, что 71,5% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Степенная модель. Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции. Был получен следующий индекс корреляции =, что говорит о очень сильной тесной связи, но немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации r²_xy =0,7175. Это означает, что 71,75% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy =0,8124, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного слабее, чем в линейной и степенной моделях. Коэффициент детерминации r²_xy =0,66. Это означает, что 66% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy =0,8578, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного больше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации r²_xy =0,7358. Это означает, что 73,58% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Гиперболическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy =0,8448 и коэффициент корреляции r_xy =-0,1784 что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²_xy =0,7358. Это означает, что 73,5% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy =0,8114 и коэффициент корреляции r_xy =-0,8120, что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²_xy =0,6584. Это означает, что 65,84% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

Вывод: по полулогарифмическому уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: ρ_xy =0,8578 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями).

Рассчитаем коэффициент эластичности для линейной модели:

· Для уравнения прямой:y = 5,777+7,122∙x

· Для уравнениястепенноймодели :

· Для уравненияэкспоненциальноймодели :

Для уравненияполулогарифмическоймодели :

· Для уравнения обратной гиперболической модели :

· Для уравнения равносторонней гиперболической модели :

Сравнивая значения , характеризуем оценку силы связи фактора с результатом:

Известно, что коэффициент эластичности показывает связь между фактором и результатом, т.е. на сколько% изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. В данном примере получилось, что самая большая сила связи между фактором и результатом в полулогарифмической модели, слабая сила связи в обратной гиперболической модели.

5. Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на:

· Линейная регрессия. =*100%= 8,5%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.