Уравнение перемещения координаты по времени

Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении в физике с примерами

Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении:

Мы знаем, что при равнопеременном движении скорость тела линейно зависит от времени. А как зависит от времени перемещение? Координата? Пройденный путь?

В предыдущем параграфе для равнопеременного движения была найдена зависимость проекции скорости от времени:

и получена формула для проекции перемещения:

Подставляя из равенства (1) в (2), находим зависимость проекции перемещения от времени:

Отметим, что при движении с постоянным ускорением соотношения (1) и (3) выполняются и для векторов скорости и перемещения:

Учитывая, что проекция перемещения из формулы (3) находим координату:

Формула (6) выражает кинематический закон равнопеременного движения. Функции (3) и (6) называются квадратичными. Следовательно, при равнопеременном движении проекция перемещения тела и его координата квадратично зависят от времени.

Сравним зависимости основных кинематических величин от времени для двух видов прямолинейного движения: равномерного и равнопеременного (табл. 1).

Таблица 1

Из таблицы видно, что при формулы равнопеременного движения переходят в формулы равномерного.

Рассмотрим графики проекций и координаты х на конкретном примере: три тела (0, 1 и 2) движутся вдоль оси Ох. Их начальные скорости одинаковы проекции ускорения различны:

По формуле (1) построим графики проекции скорости этих тел (графики 0, 1, 2 на рис. 79). Графики прямолинейны, а их наклон определяется значением проекции ускорения График 2 пересекает ось времени в момент поворота

Перейдем к графикам проекции перемещения (рис. 80).

Как мы знаем, при (т. е. для равномерного движения) и график — наклонная прямая линия (график на рис. 80).

Из таблицы 1 видно, что формулы для проекции перемещения при равномерном и равнопеременном движениях отличаются только на слагаемое Поэтому при точки графика 0* для каждого значения t следует поднять на (график 1*), а при (график 2*) — настолько же опустить (рис. 80).

Так как квадратично зависит от времени (см. формулу (3)), графики проекции перемещения при равнопеременном движении являются участками парабол (рис. 80).

Обратите внимание на поведение графиков 2 и 2* в момент поворота График 2 для (рис. 79) в этот момент проходит через нуль, а график 2* для (рис. 80) при достигает максимума, а затем начинает опускаться. Графики подтверждают: в момент поворота направление движения тела изменяется на противоположное.

А каким будет график пути? Для движения, при котором направление скорости не изменяется, график пути 1б (рис. 81) совпадает с графиком проекции перемещения 1а. Если же скорость меняет свое направление, то график пути s (2б) и график проекции перемещения (2а) будут совпадать лишь до момента поворота

При проекция перемещения начинает уменьшаться, а путь s продолжает расти. Он увеличивается на столько, на сколько за то же время уменьшается проекция перемещения.

От графика проекции перемещения легко перейти к графику координаты х (рис. 82).

Так как, согласно формуле (6), то графики координаты х (параболы ) получаются путем смещения графика на величину Смещение вверх происходит при а вниз — при (рис. 82). Выведем еще две формулы, полезные для решения задач о равнопеременном движении.

Выразим время из формулы проекции скорости (1): Подставив это выражение в формулу (2), получим:
Следовательно, при равнопеременном движении

В случае когда начальная скорость и ускорение одинаково направлены, из равенства (7) следует:

где s — пройденный путь.

Главные выводы:

1. При равнопеременном движении тела его перемещение и координата — квадратичные функции времени.
2. Графики зависимости проекции перемещения и координаты от времени для равнопеременного движения являются участками парабол.
3. Вершина параболы на графике проекции перемещения соответствует моменту времени, при котором мгновенная скорость равна нулю.

Пример решения задачи:

Шарику, находящемуся в точке А, расположенной посередине наклонного желоба длиной (рис. 83), сообщили начальную скорость вдоль наклонного желоба вверх. Ускорение шарика направлено вдоль желоба вниз. Найдите координату точки поворота и время за которое шарик ее достигнет, если

Определите время, когда шарик вернется в точку А, и время, когда он окажется в точке О. Постройте графики проекций скорости и перемещения, а также координаты шарика.

Пример решения задачи:

Решение

Выберем ось Ох, как показано на рисунке 83. Тогда проекция скорости проекция перемещения координата где
По этим формулам для моментов времени найдем значения и занесем результаты в таблицу.

Используя полученные значения, строим графики проекций скорости (рис. 84, а) и перемещения (рис. 84, б, график 1) за промежуток времени от 0 до 5 с.

График координаты получим, сдвинув график проекции перемещения на вверх (график 2 на рис. 84, б). Из графиков и таблицы находим: координата точки поворота шарик достиг ее в момент в точке А шарик оказался при а в точке О — при

Ответ:

• Криволинейное движение
• Ускорение точки при ее движении по окружности
• Инерциальные системы отсчета
• Энергия в физике
• Прямолинейное равноускоренное движение
• Сложение скоростей
• Ускорение в физике
• Скорость при равнопеременном движении

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x₀ = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с 2 . Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Совместное движение двух тел

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

1. Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
2. Построить уравнение вида x₁ = x₂.
3. Найти время встречи двух тел t_встр.
4. Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с 2 без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

1. Построить графики x1(t) и x2(t).
2. Найти точку пересечения графиков.
3. Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
4. Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием t_запазд, то его уравнение координаты принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с 2 и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с 2 , достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

Алгоритм решения

1. Определить характер движения материальной точки.
2. Записать уравнение координаты материальной точки.
3. С помощью графика зависимости координаты от времени и уравнения координаты определить проекции искомых величин.

Решение Графиком зависимости координаты от времени является парабола. Такой график соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид: Ветви параболы смотрят вверх. Это значит, что коэффициент перед квадратом переменной величины (времени) стоит положительный коэффициент. Следовательно, a_x>0. Поэтому варианты «б» и «г» исключаются. Остается выяснить, чему равна скорость: она равна нулю (как в ответе «а») или меньше нуля (как в ответе «в»)? Моменту времени t=0 соответствует точка, являющая вершиной параболы. Когда ветви параболы смотрят вверх, в ее вершине скорость тела всегда равна нулю, так как эта точка лежит на границе между отрицательной и положительной скоростью. Отсюда делаем вывод, что верный ответ «а».Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
3. Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
4. Записать уравнение движения мотоциклиста.
5. Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
6. Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

• Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
• Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
• Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с 2 .

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как, зная тормозной путь, определить начальную скорость автомобиля и как, зная характеристики движения, такие как начальная скорость, ускорение, время, определить перемещение автомобиля? Ответы мы получим после того, как познакомимся с темой сегодняшнего урока: «Перемещение при равноускоренном движении, зависимость координаты от времени при равноускоренном движении».