Уравнение переноса средняя длина свободного пробега молекул

Уравнение переноса средняя длина свободного пробега молекул

§8 Средняя длина свободного пробега молекул.

Эффективный диаметр

1. Молекулы газа находятся в состоянии хаотического движения непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно, проходя при этом некоторый путь, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна … , но так как мы имеем дело с огромным количеством молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега:

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы.

Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, то есть от температуры (эффективный диаметр уменьшается с увеличением За секунду ( t = 1 с) молекула проходит в среднем путь равный по величине средней скорости.

Если за 1 секунду она претерпевает в среднем столкновений, то

Для определения ν считаем, что молекула имеет форму шара, и движется среди других неподвижных молекул. Эта молекула сталкивается только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях d , то есть лежат внутри “ломаного” цилиндра радиусом d .

Среднее число столкновений за 1 секунду равно числу молекул в объёме “ломаного” цилиндра.

где n — концентрация молекул.

— средняя скорость молекулы, или путь, пройдённый ею за 1 секунду

— среднее число столкновений

С учетом движения других молекул:

то есть

1. Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с неоднородностями плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества. Выравнивание неоднородностей приводит к возникновению явления переноса.

Явления переноса в газах и жидкостях состоят в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутренняя энергия) и внутренней энергии (теплопроводность). При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и распределение молекул по скоростям. Отклонениями от закона Максвелла объясняется направленный перенос физических характеристик вещества в явлениях переноса.

Будем рассматривать только одномерные явления, при которых физические величины, определяющие эти явления, зависят только от одной координаты

1. Теплопроводность.

Явление теплопроводности наблюдается, если в различных частях рассматриваемого газа температуры различны. Рассмотрение явления теплопроводности с микроскопической точки зрения показывает, что количество теплоты переносимое через площадку Δ S , перпендикулярную направлению переноса прямо пропорционально коэффициенту тепло проводимости χ, зависящему от рода вещества или газа, градиенту температуры , величины площадки Δ S и времени наблюдения Δ t

Знак минус в законе Фурье показывает, что теплота переносится в направлении убывания температуры Т.

С молекулярно-кинетической точки зрения явления теплопроводности объясняется следующим образом. В той области объёма газа, где температура выше, кинетическая энергия хаотического теплового движения молекул больше, чем в той области, где температура ниже. В результате хаотического теплового движения молекулы переходят из области, где Т выше в область, где Т меньше. При этом они переносят с собой кинетическую энергию большую, той средней кинетической энергии, которой обладают молекулы в области с меньшей энергией. Вследствие постоянных столкновений молекул с течением времени происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий, то есть выравнивание температур.

Коэффициент теплопроводности χ равен

где удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объёме).

плотность газа, средняя скорость теплового движения молекул

средняя длина свободного пробега.

Физический смысл χ: коэффициент теплопроводности χ численно равен плотности теплового потока при градиенте температур равном 1

2. Диффузия

Явление диффузии заключается в самопроизвольном перемешивании молекул различных газов или жидкостей. Явление диффузии наблюдается в твердых телах. В тех случаях, когда в химически чистом однородном газе концентрация молекул будет различной, наблюдается перенос молекул, приводящей к выравниванию плотностей (или концентраций) молекул. Это явление самодиффузии. Будем для простоты считать, что плотность неоднородна вдоль оси х.

Рассмотрение явления самодиффузии с макроскопической точки зрения было сделано Фиком, который установил следующий закон: масса газа, переносимая через площадку Δ S , перпендикулярную к направлению переноса за время Δ t прямо пропорциональна коэффициенту самодиффузии D , зависящему от рода газа, градиенту плотности , величине площадки Δ S и времени наблюдения Δ t .

Знак минус показывает, что масса газа переносится в направлении убывания плотности. Коэффициент самодиффузии D численно равен массе газа переносимой за единицу времени через единичную площадку перпендикулярную направлению переноса, при градиенте плотности равном единице

— плотность потока

Согласно кинетической теории газов

3. Внутреннее трение (вязкость)

Явление внутреннего трения наблюдается в том случае, когда различные слои газа движутся с разными скоростями. В этом случае более быстрее слои тормозятся движущимися медленнее. На макроскопическое движение слоев газа (то есть движение слоя как целого) оказывает воздействие микроскопическое тепловое движение молекул.

Рассмотрим слой газа 1, движущийся со скоростью v₁ и слой газа 2_, движущийся со скоростью v₂ v₁ > v_2. В результате теплового хаотического движения молекула A из слоя 1 перейдет в слой 2 и изменит свой импульс от значения m v до какого-то значения m v’ (v₂

Молекула В из слоя 2 в результате теплового хаотического движения перейдет в слой 1 и изменит свой импульс от значения m v₂ до значения m v ’ ’ (v₂ имежмолекулярные соударения в слое 2 ускоряют движение молекул этого слоя.

Явление внутреннего трения описывается законом Ньютона: Сила внутреннего трения F , действующая между двумя слоями газа прямо пропорциональная коэффициенту внутреннего трения η, градиенту скорости и величине площади Δ S .

(Импульс dp , переносимый через площадку dS за время Δ t , прямо пропорционален коэффициенту внутреннего трения η, градиенту скорости , величине площадки dS и времени наблюдения dt ).

— закон Ньютона.

Знак минус показывает, что сила внутреннего трения противоположна градиенту скорости, то есть импульс переноситься в направлении убывания скорости. Коэффициент внутреннего трения вычисляется по формуле

Связь между коэффициентами для явления переноса

Средняя длина и среднее время свободного пробега молекул. Явления переноса в газах. Диффузия.

Столкновения между молекулами играют очень важную роль во всех процессах, происходящих в газах. В частности, столкновения устанавливают равновесное распределение (Максвелловское) молекул по скоростям. Столкновения это и есть тот механизм, обеспечивающий переход газа к равновесному состоянию.

В идеальном газе столкновения происходят только между двумя молекулами. На одновременные столкновения между тремя и большим числом молекул можно не обращать внимания, так как они происходят достаточно редко. Столкновения молекул — случайные события. Их число зависит от скорости молекул, их размеров и концентрации. При столкновении молекулы сближаются до некоторого минимального расстояния, которое условно считается равным сумме радиусов молекул, взаимодействующих между собой.

Молекулы в этом случае надо представлять как твердые, упругие шарики с радиусами r₁ и r₂. Если газ однородный, то r₁ = r₂ = r. Столкновение между молекулами происходят только в случае, если их центры сближаются на расстояние равное сумме их радиусов r = r = 2r (рис.1).

Рис.1. К расчету сечения рассеяния.

Иначе говоря, столкновение происходит только в том случае, если центры молекул окажутся внутри окружности площадью:

(1)

Величина σ называется эффективным сечением рассеяния молекул, или просто сечением рассеяния. Величина d, то есть минимальное расстояние между центрами молекул при столкновении, называется эффективным диаметром молекулы.

В момент столкновения изменяется величина и направление скорости молекулы, после чего она движется прямолинейно до следующего столкновения. Расстояние, которое молекула проходит между столкновениями – случайная величина.

Среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями называется средней длиной свободного пробега молекул.

Величина числа столкновений молекулы в единицу времени, очевидно, также является случайной.

Ее среднее значение называется средним числом столкновений молекулы в единицу времени.

Эти две связанные между собой величины – являются главными характеристиками процесса столкновения газовых молекул.

Определим эти величины. Предположим, что все молекулы газа неподвижны, кроме одной. Из-за столкновений с неподвижными молекулами она будет двигаться по ломаной линии (рис.2).

Рис.2. Траектория движения молекулы.

Пусть эффективный диаметр молекулы d. Она будет сталкиваться с теми неподвижными молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра с площадью основания равной эффективному сечению рассеяния σ, т.е. окружности диаметром 2d (рис.3).

Рис.3. К расчету средней длины свободного пробега молекул.

Объем такого цилиндра равен пути, который молекула проходит за единицу времени, умноженному на σ:

где – средняя арифметическая скорость. Так как t = 1с то:

(2)

Ошибка, которая допускается при замене ломаного цилиндра на прямой незначительная, так как длина каждого прямого отрезка много больше, чем диаметр цилиндра.

Умножим объем цилиндра на концентрацию молекул n. В результате получим число молекул, находящихся в цилиндре, таким же будет и число столкновений рассматриваемой молекулы в единицу времени.

(3)

Однако следует учесть, что движется не одна, а все молекулы, поэтому число столкновений будет определяться не средней скоростью молекулы по отношению к стенкам сосуда (абсолютная скорость), а средней относительной скоростью (относительно движущихся молекул).

(4)

Пусть до столкновения молекулы движутся со скоростями υ₁ и υ₂ (рис.4).

Рис. 4. К расчету относительной скорости.

Относительная скорость движения одной молекулы относительно другой:

Из рисунка видно, что:

Известно, что среднее значение суммы нескольких величин равно сумме средних значений этих величин.

Среднее значение квадратов абсолютных скоростей всех молекул одинаковое. Угол φ может принимать значения от 0 до π, поэтому среднее значение

Учитывая вышеизложенное, получим:

Средняя относительная скорость движения одной молекулы относительно другой в раз больше средней абсолютной скорости молекул. С учетом этого из (4) получим среднее число столкновений молекулы в единицу времени:

(5)

При нормальных условиях (p = 1,01·10 5 Па, T = 273 K) значение из (5) составляет

Такое большое значение числа столкновений объясняет факт медленного движения молекул в определенном направлении, несмотря на то, что тепловые скорости молекул достигают сотен метров в секунду (пример: распространение запахов).

Величина обратная есть не что иное, как среднее время свободного пробега молекул:

(6)

За время t молекула проходит путь , за это же время молекула делает столкновений, следовательно, средняя длина свободного пробега молекул:

(7)

При нормальных условиях .

Известно, что:p = nkT. С учетом этого из (7) получим:

(8)

Из (8) видно, что обратно пропорциональна давлению при постоянной температуре. Из (7) следует, что не зависит от температуры. На самом деле эффективный диаметр молекулы d зависит (слабо) от температуры (от кинетической энергии сталкивающихся молекул). Зависимость выражается формулой Сезерленда:

(9)

где C – характерная для каждого газа постоянная величина, которая имеет размерность температуры и называется постоянной Сезерленда. — средняя длина свободного пробега молекулы при T→∞.

Равновесное состояние газа в МКТ всегда связано с хаотичным движением молекул, скорости которых распределены по Максвеллу. Любые неравновесные состояния газа связаны с нарушением Максвелловского распределения молекул по скоростям. Основная особенность неравновесного состояния – стремление газа самопроизвольно перейти к равновесному состоянию. Это обусловлено тепловым движением молекул и их беспрерывными столкновениями.

Установление в газе равновесного состояния с Максвелловским распределением по скоростям всегда связано с направленным переносом массы, импульса и энергии. Процессы переноса этих величин называются явлениями переноса. К явлениям переноса относятся: диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. Диффузия обусловлена переносом массы, внутреннее трение – переносом импульса, теплопроводность – переносом энергии.

Диффузией называется процесс проникновения одного газа в объем другого, или движение газа из области с высокой концентрацией молекул в область, где она ниже.

Процесс диффузии заключается в том, что каждый из компонентов смеси переходит из тех мест, где его концентрация больше в те, где его концентрация меньше, это значит в направлении уменьшения концентрации.

Фик экспериментально установил, что масса вещества, переносимая через площадку dS в направлении нормали к площадке, за время dt, пропорциональна градиенту плотности в направлении переноса:

(10)

где dM – масса перенесенного вещества, — градиент плотности газа в направлении x, D – коэффициент диффузии, который зависит от рода газа и от условий, в которых газ находится.

Физический смысл D: коэффициент диффузии численно равен массе вещества перенесенной через единичную площадку в единицу времени, в направлении нормали к площадке, при единичном градиенте плотности.

(10) – первый закон Фика. Знак “-“ в правой части (10) показывает, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения плотности.

Рассмотрим самодиффузию газа (рис.4).

Рис.4. К расчету коэффициента диффузии.

Предположим, что концентрация молекул в том месте, где расположена площадка dS, равна n, а градиент концентрации молекул вдоль оси x – dn/dx. Тогда на расстоянии по обе стороны от площадки концентрации молекул будут соответственно равны:

(11)

(12)

Молекулы движутся хаотично, следовательно, все направления движения равновероятны. Тогда в направлении оси x будет двигаться 1/3 всех молекул. Из них половина, т.е. 1/6 будет двигаться слева направо, а вторая половина справа налево. Так как молекулы не сталкиваются друг с другом на пути , то за время dt через площадку dS слева на право пройдет

молекул, а в обратном направлении

молекул, где . Суммарное число молекул, которое проходит через площадку dS за время dt слева направо будет равно:

(13)

Суммарное число молекул, которое проходит через площадку dS за время dt справа налево подсчитывается аналогично:

(14)

Разность (14) и (13) даст общее число молекул, которые проходят через площадку dS за время dt в положительном направлении оси x:

(15)

С учетом (11) и (12) из (15) получим:

(16)

Умножим левую и правую часть (16) на массу одной молекулы m:

(17)

В (17) dNm = dM – масса газа, которая переносится через площадку dS за время dt, а величина:

градиент плотности, где mn = ρ – плотность газа. С учетом этого перепишем (17) в виде:

(18)

Сравнивая (18) с законом Фика (10) получим коэффициент диффузии:

(19)

При T = const не зависит от давления p, а

Коэффициент диффузии зависит от температуры, поскольку:

.

Следовательно . Опыты показывают, что при повышении температуры D возрастает быстрее, чем . Это объясняется тем, что при повышении температуры уменьшается эффективный диаметр молекул, что приводит к росту (формула Сезерленда), а, значит и к дополнительному увеличению D.

Дата добавления: 2015-05-21 ; просмотров: 5388 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ