Уравнение пересечения параболы и параболы

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, \quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

Две параболы совпадают

Бесконечное множество общих точек, $x \in \Bbb R$

$A = B = 0, C \neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

Параболы имеют вид

У них общая ось симметрии

$ x = -\frac<2a>$, одна парабола находится над другой.

Ветки сходятся только на бесконечности.

Точек пересечения нет

$A = 0, B \neq 0, C = 0$

$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $

Параболы имеют вид

Обе проходят через точку (0;c).

Это – единственная точка пересечения.

Одна точка пересечения

$A = 0, B \neq 0, C \neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $

Параболы имеют вид

Абсцисса точки пересечения

Одна точка пересечения (касание)

$A \neq 0, B = 0, C = 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $

Параболы имеют вид

Пересекаются при x=0 (точка касания)

Одна точка пересечения (касание) (0;c)

$A \neq 0, B = 0, C \neq 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $

Параболы имеют вид

Не пересекаются, если

Две точки пересечения

Пересекаются в двух точках

Две точки пересечения

$A \neq 0, B \neq 0, C = 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $

Параболы имеют вид

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$

$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения,

одна из которых (0;c)

$A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $

Все параметры парабол разные

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Одна точка пересечения (касание)

Одна точка пересечения

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.

Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = -1\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ 3x^2+2x-1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow $$

$ \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x = \frac<1> <3>\\ y = 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x = -1 \\ y = 0 \end \right.> \end \right.$ — две точки пересечения

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = 1\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ -4x^2-3x+1 = 0 \Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$

$$ (4x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow$$

$ \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x = \frac<1> <4>\\ y = 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x = -1 \\ y = 0 \end \right.> \end \right.$ — две точки пересечения

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = 1\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ D = 2^2-4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20 = -16 \lt 0 $$

Парабола не пересекает ось OX

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = -4\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ -x^2+4x-4 = 0 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow <\left\< \begin x = 2 \\ y = 0 \end \right.>$$ — одна точка пересечения

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D \gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (1-k) = 4k \gt 0 \Rightarrow k \gt 0 $$

Оба случая можем объединить требованием $k \gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 \Rightarrow k = 0 $$

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k \lt 0 \Rightarrow k \lt 0 $$

Ответ: 1) $k \gt 0$; 2) k = 0; 3) $k \lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = \frac<2>-3x+1$.

$$ x_0 = — \frac <2a>= — \frac<-3><2 \cdot \frac<1><2>> = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot \frac<1> <2>\cdot 1 = 7 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6a = -6 \\ D = 14a = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ b^2-4ac = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ 36-4c = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ c = \frac<36-14> <4>= 5,5 \end \right.>$$

$$ <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = -6a = 1,2 \\ D = 14a = -2,8 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ 1,2^2-4 \cdot (-0,2)c = -2,8 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ c = — \frac<1,44+2,8> <0,8>= -5,3 \end \right.> $$

$$ y = \frac<2>-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = \frac<3>-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -\frac <2a>= -\frac<-2><2 \cdot \frac<1><3>> = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot \frac<1> <3>\cdot 5 = — \frac<8> <3>$$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).