Уравнение пересечения прямой и конуса

Пересечение прямой линии с конической поверхностью

Пусть имеем конус, расположенный на плоскости a, и некоторую прямую а, пересекающую коническую поверхность (рис. 7.4).

Проведем через какие-нибудь точки А и В прямой а и вершину конуса S прямые SA и SB. Эти пересекающиеся прямые и определяют вспомогательную плоскость w, которая пересечет коническую поверхность по некоторым образующим. Для нахождения этих образующих построим линию пересечения плоскости w с плоскостью основания конуса a. Линия пересечения этих плоскостей пройдет через точки M и N, в которых прямые SA и SB пересекаются с плоскостью a.

Прямая MN пересекает очерк основания конуса в точках 1 и 2, через которые и проходят вышеназванные образующие. Пересечение этих образующих с данной прямой а определит искомые точки пересечения К и L.

На рис. 7.5 показано решение рассматриваемой задачи на эпюре конуса, стоящего на горизонтальной плоскости проекций. В этом случае точки M и N для прямых SA и SB, определяющих вспомогательную плоскость, являются их горизонтальными следами, а прямая MN – горизонтальным следом этой плоскости.

Выполненные на рис. 7.5 построения полностью соответствуют выше­приведенному описанию.

Отрезок [K—L] прямой а находится внутри конуса и изображается линией невидимого контура. На фронтальной проекции прямая слева от точки К и справа от точки L видна, т.к. точки К и L находятся на передней половине конуса. На горизонтальной проекции конус виден полностью, поэтому точки К и L видны и, следовательно, прямая а также видна.

В отдельных случаях точки пересечения прямой с поверхностью конуса могут быть найдены проще, чем изложено выше. На рис. 7.6, 7.7, 7.8 приведены такие примеры.

Точки пересечения К и L прямой а, пересекающей ось конуса (рис. 7.6), находим при помощи проведенной через прямую горизонтально проецирующей плоскости w, пересекающей коническую поверхность по образующим S1 и S2. В пересечении фронтальных проекций этих образующих и прямой получаем точки К¢¢ и L¢¢, а по ним находим горизонтальные проекции точек пересечения К¢и L¢.

Если прямая а перпендикулярна плоскости проекций p₁ (рис. 7.7), то горизонтальная проекция точки пересечения К¢ совпадает с горизонтальной проекцией прямой а. Проведя через точку К образующую конуса S1, в пересечении ее фронтальной проекции S¢¢1¢¢ с а¢¢ получим фронтальную проекцию точки пересечения К¢¢.

Рис. 7.6 Рис. 7.7 Рис. 7.8

Когда пересекающая прямая перпендикулярна плоскости проекций p₂ (рис. 7.8), через нее можно провести горизонтальную плоскость w и, построив окружность, по которой ею пересекается коническая поверхность, получим горизонтальные проекции точек пересечения К¢ и L¢, фронтальные проекции К¢¢ и L¢¢совпадают с фронтальной проекцией прямой.

Пересечение прямой с конусом

Пересечение прямой с конусом — это задача по определению точек встречи прямой с поверхностью конуса. Поверхность конуса состоит: — боковой поверхности представляющей собой поверхность вращения; — поверхности основания представляющей собой окружность .

Пересечение прямой с конусом: d ∩ α.

Здесь прямая d занимают общее положение и поверхность прямого кругового конуса α формируется прямыми из вершины S. Решать задачу на пересечение прямой с конусом следует, применяя алгоритм пересечения прямой с поверхностью: — Заключаем прямую d в вспомогательную плоскость γ, которая также проходит через вершину конуса S; — Находим точки пересечения этой плоскости с основанием конуса, для чего строим горизонтальный след плоскости — γ_H по следам прямых n_H и m_H: γ_H ∩ α_H = A`, B`. Соединив полученные точки с вершиной конуса S` прямыми линиями, находим линии пересечения этой плоскости с боковой поверхностью конуса S`A`, S`B`, которые пересекаются с прямой d: — S`A` ∩ d` = E` ⇒ E»; — S`B` ∩ d` = K` ⇒ K».

Пересечение прямой с конусом — это задача по определению видимости: — для горизонтальной плоскости проекций производим с помощью конкурирующих точек: — перемещаясь вверх по линиям связи точек пересечения α_H и прямой d` находим, что соответствующие точки прямой d» находится выше основания конуса α»<sub>H</sub>, а это означает что соответствующие им точки прямой d` на горизонтальной плоскости проекций видимы. — для фронтальной плоскости проекций производим исходя из того, что образующие находящиеся: — за очерковыми образующими не видимы; — перед очерковыми образующими видимы. Образующие S`A` и S`B` находятся перед очерковыми образующими и следовательно они видимы.

Пересечение прямой и конуса

В этом уроке рассмотрим пересечение прямой с поверхностью конуса.

• Диаметр окружности основания конуса 60 мм.
• Высота прямого конуса 70 мм.
• Прямая l общего положения.

Необходимо определить точки пересечения прямой с поверхностью конуса.

Алгоритм решения задачи по начертательной геометрии на пересечение прямой с поверхностью конуса

• Проводим плоскость общего положения ASB заданную треугольником через прямую l и вершину A конуса.
• Строим фронтальную и горизонтальную проекции данной плоскости.
• Определяем точки пересечения вспомогательной плоскости с основанием конуса, затем точки пересечения прямой с поверхностью конуса.
• Определяем видимость прямой.