Уравнение перпендикуляра из точки к вектору

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.

Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Вторая часть доказательства

При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ найдем косинус. Тогда получим cos ( a → , b → ) ^ = ( a → , b → ) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → . Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = ( a x , a y ) , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .

Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → . Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 . Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α . В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →

Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .

Перпендикулярность векторов

Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.

Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному

Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.

Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов

Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:

1. Поменять местами координатные числа «x» и «y».
2. Заменить знак у одной из координат на противоположный.

Графический пример

Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).

На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: \(\vec\) и \(\vec\).

Вектор \( -\vec = \left\ < 3 ; -4 \right\>\), также будет перпендикулярным вектору \( \vec \): \( \vec \perp \vec <(-b)>\)

Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.

Условие перпендикулярности векторов

Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.

Запишем условие перпендикулярности векторов.

Для двумерного случая:

\[ \large \boxed < a_\cdot b_ + a_ \cdot b_ = 0 >\]

Для трехмерного случая:

\[ \large \boxed < a_\cdot b_ + a_ \cdot b_ + a_ \cdot b_ = 0 >\]

Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.

При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.

Примечание:

Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.

Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.

Перпендикулярные векторы в физике

В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.

Вот несколько примеров:

1. Если угол между вектором скорости тела и вектором силы, действующей на тело, будет прямым, то такая сила работу по перемещению тела совершать не будет.
2. На проводник с током магнитное поле действует максимальной силой, когда вектор магнитной индукции и вектор тока в проводнике перпендикулярны.
3. Когда угол между вращающей силой и, расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения, будет прямым, вращательный момент будет максимальным.
4. Между линейной скоростью точки колеса и расстоянием от этой точки до оси вращения, угол прямой (радиус и касательная перпендикулярны).
5. На вращающееся тело действует центростремительная сила. Угол прямой между этой силой и линейной скоростью точки тела (радиус и касательная перпендикулярны).

Уравнение перпендикуляра к прямой в пространстве

Пусть дана некоторая точка М и вектор n. Проведем через точку М прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M – произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор (overrightarrow M>) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и (overrightarrow M>) равнялось нулю:

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M и M имеют координаты (x ; у ) и (x; у).

Тогда (overrightarrow M>) = (x – x ; у – у ). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М (x ; у ) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

– 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x – 5у – 17 = 0.

Задача 2. Даны точки M₁(2; -1) и M₂(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору (overrightarrow M_ >).

Нормальный вектор искомой прямой n = (overrightarrow M_ >) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M₁(-5; 2), M₂(5; 6) и M₃(1; -2) проведена медиана M₁А₁. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А₁ перпендикулярно медиане M₁A₁ (рис. 85).

За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = (overrightarrow A_ >). Определим его координаты. Точка A₁ – середина отрезка M₂M₃, поэтому, если (x₁; y₁) – ее координаты, то ( x_1 = frac =3, ;;а ;; y_1=frac =2 ).

Тогда нормальный вектор n = (overrightarrow A_ >) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).

За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = (overrightarrow).

Так как n = (2-(-3); 7 – (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим

или, окончательно, 5х + 8у – 57 = 0.

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = – 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор – n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x – x 1 ) + B 2 · ( y – y 1 ) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x – x 1 a x = y – y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен – 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом – 1 k b в виде y – y 1 = – 1 k b · ( x – x 1 ) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , – 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x – 2 3 = y + 4 1 .

Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x – 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , – 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .

Получим уравнение вида: 3 · ( x – 7 ) + 1 · ( y – ( – 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y – 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y – 12 = 0 .

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x – y + 1 = 0 .

Имеем, что n b → = ( 2 , – 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , – 1 ) – координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , – 1 ) . Получим, что x – 0 2 = y + 0 – 1 ⇔ x 2 = y – 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x – y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y – 1 .

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , – 3 ) перпендикулярно прямой y = – 5 2 x + 6 .

Из уравнения y = – 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение – 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение – 1 – 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , – 3 ) перпендикулярно прямой y = – 5 2 x + 6 , равна y – ( – 3 ) = 2 5 · x – 5 ⇔ y = 2 5 x – 5 .

Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /₉x – 1 /₃ (a = 4 /₉). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .