Уравнение перпендикуляра из вершины треугольника

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Уравнение перпендикуляра из вершины треугольника

Найдем координаты точки М (он а является серединой отрезка АВ)

Найдем уравнение прямой. Для этого запишем уравнения для точек М и С

Теперь найдем уравнение отрезка ВР (по заданию ВР перпендикулярен МС, то есть угловой коэффициент находится соотношением
k =-1/ k_MC =-4/3)
Dля нахождения свободного чрена подставим в уравнение значения точки В

Для нахождения точки Р приравняем уравнения прямых МС и ВР

Задача 11671 Даны вершины треугольника АВС.

Условие

Даны вершины треугольника АВС: А(1;-3),В(3;4),С(7;-2)
Найти:

1) уравнения сторон (общие,с угловым коэффициентом,»в отрезках»);
2) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины С;
3) угол при вершине В(cosB

Решение

1)
АВ
у=kx+b
Подставляем координаты точек А и В
-3=k*1+b
4=k*3+b
2k=7
k=3,5
b=-6,5
у=3,5х-6,5
7х-2у=13
(х/(13/7))-(у/6,5)=1

2) координаты точки М- середины АВ
M((1+3)/2;(-3+4)/2)=M(2;1/2)
Уравнение медианы СМ
у=kx+b
-2=k*7+b b=-2-7k
-1/2=k*2+b
-1/2=k*2-2-7k
3/2=-5k
k=-3/10
b=-4,1
y=-0,3x-4,1
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1.
у=(10/3)х+b — уравнения прямых, перпендикулярных медиане СМ.
Подставляем координаты точки А
-3=(10/3)+b
b=-19/3
y=(10/3)x-(19/3) — уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины С

Смежный с ним угол тупой и потому косинус его отрицательный. В условии задачи спрашивается про тупой угол

О т в е т. cos∠B= — 34/sqrt(53)*sqrt(52)

4) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
y=(3/2)x+b
Подставляем координаты точки А
-3=(3/2)+b
b=-4,5
y=(3/2)x-(9/2)
3x-2y-9=0 — уравнение прямой, параллельной ВС и проходящей через точку А

5) См. рисунок. Площадь треугольника легко найти, достроив его до прямоугольника со сторонами 6 и 7 и вычитая из площади прямоугольника площади трех прямоугольных треугольников.
S=6*7-(6*1/2)-(6*4/2)-(7*2/2)=42-3-12-7=20 кв. см