Уравнение перпендикуляра опущенного от точки на плоскость

Уравнение перпендикуляра опущенного от точки на плоскость

Прямая и плоскость

Даны канонические уравнения прямой

Пример. Найти проекцию точки А (2; –1; 3) на плоскость x + 2 y – z – 3 =0.

Решение. Проекцию точки А на плоскость найдем как точку пересечения плоскости перпендикуляром, опущенным из точки А на данную плоскость. Составим уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А (2; –1; 3) на плоскость x + 2 y – z – 3 = 0:

Из условия перпендикулярности прямой и плоскости имеем ,

т.е. m = 1, n = 2, p = –1. Уравнения перпендикуляра примут вид

.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему из уравнений прямой и плоскости:

или или

Решая указанную систему, получим координаты проекции точки А на данную плоскость: (3; 1; 2).

Онлайн калькулятор. Расстояние от точки до плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления расстояния от точки до плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление расстояния от точки до плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти расстояние от точки до плоскости

Ввод данных в калькулятор для вычисления расстояния от точки до плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления расстояния от точки до плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория: Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если задано уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0, то расстояние от точки M(M _x , M _y , M _z ) до плоскости можно найти используя следующую формулу

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M₀(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

(4)

Подставляя координаты точки M₀(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим: