Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения
Разделы: Математика
Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х,у) уравнение
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.
Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
n Z.
Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х = =.
Если у =1, то х = =.
Если у = 2, то х = = = 7 Z.
Если у =3, то х = =.
Если у = 4 то х = =.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: n Z.
Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5 1 + 3.
5 = 3
3 = 2 .
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 ) =
= 3 — 5 = 3 = (8 — 5 — 5 82 -5
= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.
Отсюда получим: Хо =19; уо =19 .
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Четвертый способ. Геометрический.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .
Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19 уо =19
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Решение уравнений с двумя неизвестными
В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Определение
Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.
Ниже приведены несколько примеров:
Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Решение задач
Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.
Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.
При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).
Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.
У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9
Приведем исходное равенство к следующему виду:
В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.
При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.
Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.
Оба равенства равносильны.
Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.
Оба уравнения также равносильны.
Система уравнений с двумя неизвестными
Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.
Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.
Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
- Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
- Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
- Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
- Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
- Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
- Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
- Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
- Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
- Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
- Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.
При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.
В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.
Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео
Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.
Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ЕГЭ С-6: Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.
Диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными х и у будем называть уравнение вида mx+ny=k , где m, n, k, x, y Z . Будем считать, что m и n- взаимно простые числа .
Пример 1. Решить уравнение 3х-4у=1 в целых числах.
Решение: Перепишем уравнение в виде 3х=4у+1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если у=3 t ; t , то 4у+1=4 12у+1 не делится на 3.
Если у=3 t +1, то 4у+1=4(3 t +1)+1=12 t+5 не делится на 3.
Если у=3 t +2 , то 4у+1=4(3 t +2)+1=12 t+9 делится на 3. Поэтому 3х=12 t+9 , т.е. х=4 t+3.
Ответ: t .
Пример 2. Решить уравнение 36х-25у=1 в целых числах.
Решение: -25у=1-36х,т.е. 25у=36х-1.Число слева делится на 5 ( ).
х= 5 t , t 25у=36х-1=36 , не делится на 5.
х= 5 t +1. 25у=36(5 t +1)-1=180 t+35 ( , т.е.5у=36 t+7. Дальше решаем как в первом примере.
t= 5 u, u 5у=36 5 u +7= 180 u +7 не делится на 5.
t= 5 u +1. 5у=36(5 u +1)+7=180 u+43 не делится на 5.
t= 5 u +2. 5у=36(5 u +2)+7=180 u+79 не делится на 5.
t= 5 u +3. 5у=36(5 u +2)+7=180 u+115 делится на 5. Значит у=36 u +23
х=5 t+1=5(5u+3)+1=25u+16. x=25u+16.
Ответ: t .
Пример3. Решить уравнение 79у-23у=1 в целых числах.
Решение. Проведем процедуру уменьшения коэффициентов с помощью деления с остатком.
79у-1=(23 +10)у-1=23х. 23х=23 . 23х-69у=10у-1. Левая часть делится на 23. Значит и правая часть тоже делится на 23. 10у-1=23 t. 10y=23t+1=(10 левая часть делится на 10, значит и правая часть делится на 10.
3 t=10u-1=(3 делится на 3. Значит u-1=3v,v
3t=10u-1=10(3v+1)-1=30v+9 делится на 3. t=10v+3. 10y=23t+1=23(10v+3)+1=230v+ 70 делится на 10. у=23 v+7 . 23x=79y-1=79(23v+7)=79 v+23 . Т.е. х=79 v+24 .
Ответ: t .
http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/reshenie-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi
http://infourok.ru/diofantovi-uravneniya-pervogo-poryadka-s-dvumya-neizvestnimi-638667.html