Уравнение первой степени 8 класс

Уравнения высших степеней в курсе алгебры 8—9-х классов

Разделы: Математика

В классах с углубленным изучением математики уравнения степени выше второй начинают изучать сразу же после прохождения темы «Квадратные уравнения». В курсе алгебры 8-9 классов – это уравнения, которые путем тех или иных преобразований сводятся к квадратным. Чтобы помочь учащимся разобраться в многообразии этих уравнений, я разбиваю их на типы в соответствии с методом их решения. Это облегчает их усвоение, а так же подготавливает учащихся к усвоению темы «Уравнения высших степеней» в 10-11 классах. Все рассмотренные уравнения можно предложить и учащимся общеобразовательных классов, которые интересуются математикой. Уравнения, аналогичные разобранным, можно найти в сборниках и учебной литературе, список которой приведен в конце работы.

а) биквадратные уравнения

б) с модулем

в) введение новой переменной

д) уравнения, в которых во всех квадратных трехчленах равны соответственно старший коэффициент и свободный член

е) сводящееся с помощью введения новой переменной к дробно-линейному

Литература

1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва «Просвещение» 1997 и последующие издания.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва «Просвещение» 1997 и последующие издания.
3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 2001 и последующие издания.
4. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 2001 и последующие издания.
5. М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач пол алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва 1996 и последующие издания.
6. Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н.Трушанина. Задания для проведения письменного экзамена по математики в 9 классе. Москва «Просвещение» 1994 и последующие издания.

Презентация к уроку по математике на тему «Решение уравнений первой степени»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Решение уравнений» Подготовила учитель математики Братченко Н.В.

Математика друзья , Абсолютно всем нужна. На уроке работай старательно И успех тебя ждёт обязательно ! А учиться надо весело ! Только чтобы переварить знания , надо поглощать их с аппетитом !

Проверка ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 627(а,г) Х + 3= 3х-7 Х-3х= -7-3 -2х= -10 Х= -10 : (-2) Х=5 5х-8=3х-8 1способ: 5х=3х Х=0 2 способ 5х-3х= -8+8 2х=0 Х=0 629 (а,в) 3(х+2)-х=10 3х+6 –х=10 2х=10-6 2х=4 Х=2 4х+3(х-7)=5 4х+3х -21=5 7х=5+21 7х=26 Х=26:7 Х=3

Идем мы в «икс»-педицию Чтобы диковину найти, «Икс»-педицию нам надо провести На вас я буду полагаться, На вашу эрудицию, В дороге опираться Задачи в «икс»-педиции Для вас, для всех, для всех От их решенья быстрого Зависит наш успех.

Сегодня вы узнаете название удивительного плода, который по вкусу напоминает смесь ананаса и груши. Продолжаем узнавать удивительное на нашей планете.

Устный счет. ДЖЕКФРУТ ДА НЕТ 1)-10ː5 = 2)-17х+2х = 3)1,1+1,9 = 4)3·(х+5) = 5)5-3,7 = 6)-(4х-2) = 7) ·(-6) = 8) -5х = 0 У Т К Е Р Ж Д Ф Н А -3 0 3х+15 3 -4х+2 -15х -2 1,3 3х+5 -6

В результате получается слово «ДЖЕКФРУТ» самый большой фрукт в мире , растущий на дереве. Джекфрут или индийское хлебное дерево растёт в странах Южной и Юго- Восточной Азии, от Индии до Индонезии. Его плоды в форме бочонка – самые большие съедобные плоды, произрастающие на деревьях.

1) Уравнением называется…. 2) Решить уравнение – значит…. 3)Корень уравнения – это такое число… 4)Чтобы перенести какой-нибудь член уравнения из одной части в другую, надо…. 5)Обе части уравнения можно умножить на …. Равенство, содержащее букву, значение которой надо найти (переменную) Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня) при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное равенство изменить его знак на противоположный одно и то же число, отличное от нуля

2х + 15 = 135 2х = 135 + (– 15) 2х = 120 х = 60 :2 :2 Найдём длину среднего плода в см Длина джекфрута от 20 до 110 см

2,3х = 2х + 6 2,3х – 2х = 6 0,3х = 6 х = 6 : 0,3 х = 20 Найдём массу среднего плода в кг Масса джекфрута от 1,5 кг до 40 кг

4 · (х + 5) = 12 х + 5 = 12 : 4 х + 5 = 3 х = 3 – 5 х = -2 Объясните решение уравнения:

50х-9 = 4-80х; 50х-80х = 4+9; -30х =13; х=13 .(-30); х= — 390. Найдите и исправьте ошибки в решении уравнения: Искали диаметр джекфрута Диаметр джекфрута до 20 см

Из спелых плодов делают салаты и десерты. Плоды содержат около 40% углеводов (крахмала)- больше чем в хлебе, жиры, белки, т.е. очень питательны. Поэтому (и из-за дешевизны) этот плод в Индии называют «хлебом для бедных» Его плоды в форме бочонка – самые большие съедобные плоды, произрастающие на деревьях. Плоды широко используется в местной кулинарии, как спелый, так и незрелый. Незрелые плоды используются как овощи — их варят, жарят, тушат

Графический диктант Ключ: ᴖ—ᴖ-ᴖᴖᴖ-ᴖ 1)Число -2 является корнем уравнения у=5х 2) Все уравнения имеют корни. 3) При выполнении преобразования -17х+2х получается -19х 4) Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что корней нет). 5) В уравнении 0х=-7 один корень 6) Уравнение у-8=-2 имеет отрицательный корень 7) Уравнение-это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти 8) Число 0 является корнем уравнения 7х=0 9) Обе части уравнения можно разделить на любое одинаковое число. 10) Корнем уравнения 2х+3х =5 является число 1

Плоды широко используется в местной кулинарии, как спелый, так и незрелый. Незрелые плоды используются как овощи — их варят, жарят, тушат. Толстая кожура ДЖЕКФРУТА покрыта многочисленными конусообразными выступами .Жёлтая мякоть пахнет приятно, похоже на банан или ананас.

Мы потопаем ногами, Покиваем головой. Ручки кверху поднимаем, А потом их опускаем И опять писать начнем. Ручки кверху поднимаем , А потом их опускаем. А потом их развернем И к себе скорей прижмем. А потом быстрей, быстрей Хлопай, хлопай веселей. Физкультминутка

Работа в парах Приметы повара: Форма лица: Цвет глаз: Волосы: Форма носа: Губы: Особые приметы: круглое лицо карие глаза кудрявые черные волосы нос картошкой, узкие губы черные усики Если допущена ошибка оценка снижается на 1 балл – «4», если две , три ошибки – «3», за большее количество ошибок – «2»

Работа в парах Внутри каждый плод разделен на большие доли, которые содержат сладкую жёлтую мякоть, Мякоть приторно-сладкая, напоминает по вкусу дыню, но намного слаще её[ состоящую из сочных скользких волокон.

Тестовое задание Решаем в тетради, ответы пишем в бланке самооценивания Если верно решено 5заданий-«5», 4 задания_ «4», 3 задания – «3» 1 2 3 4 5 б б а а б

Итоги урока — Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни данного уравнения? — Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения? — Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части урав­нения в другую

Домашнее задание Повторить теорию( пункт 3.9). Решить уравнения № 626 (а,б,в), № 628 (а,б,в)

Рефлексия. Оцените своё настроения после урока: поднимают «Светофор» зеленый – хорошее настроение, красный – плохое настроение, желтый — не определился — Я узнал(а)… — Я научился….. — Самым интересным было…. « Посредством уравнений, теорем Он уйму всяких разрешил проблем: И засуху предсказывал, и ливни. Поистине его познанья дивны».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 342 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 02.02.2019
• 523
• 16

• 28.01.2019
• 522
• 22

• 28.01.2019
• 6113
• 57

• 22.01.2019
• 626
• 23

• 21.10.2018
• 525
• 15

• 13.10.2018
• 1809
• 301

• 17.09.2018
• 1252
• 86

• 12.08.2018
• 416
• 17

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.02.2019 404
• PPTX 1.6 мбайт
• 9 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Братченко Наталья Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 12
• Всего просмотров: 28996
• Всего материалов: 33

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения — Наука

Содержание:

В первая степень или линейные уравнения с неизвестным — это те, которые могут быть выражены как сумма двух членов следующим образом:

куда а и б, с участием к ≠ 0, являются действительными числами R или также комплексными C. Чтобы решить эту задачу, члены транспонируются, что означает изменение членов с одной стороны равенства на другую.

Чтобы решить неизвестное, транспонируется член + b, который должен перейти в правую часть равенства с измененным знаком.

Затем значение x очищается следующим образом:

В качестве примера мы собираемся решить следующее уравнение:

Переносим член -5 в правую часть с измененным знаком:

Это эквивалентно добавлению 5 к обеим сторонам исходного уравнения:

6x — 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

А теперь решаем неизвестный «х»:

Это эквивалентно делению обеих частей равенства на 6. Таким образом, мы можем использовать следующее, чтобы получить решение:

-Вы можете прибавить или вычесть одно и то же количество к обеим сторонам равенства в уравнении, не изменяя его.

-Вы также можете умножить (или разделить) на одинаковую величину все члены как слева, так и справа от уравнения.

-И если оба члена уравнения возведены в одну и ту же степень, равенство также не изменяется.

Как решать уравнения первой степени

Решение уравнения первой степени также называется его корнем. Именно значение x преобразует исходное выражение в равенство. Например в:

Если мы подставим в это уравнение x = 5, мы получим:

Поскольку линейные уравнения первой степени бывают разных форм, которые иногда не очевидны, существует ряд общих правил, которые включают в себя несколько алгебраических манипуляций, чтобы найти значение неизвестного:

— Во-первых, если есть указанные операции, их необходимо провести.

— Группирующие символы, такие как круглые скобки, скобки и фигурные скобки, если они существуют, должны быть удалены с сохранением соответствующих знаков.

— Термины переносятся так, что все те, которые содержат неизвестное, помещаются с одной стороны равенства, а те, которые не содержат его, с другой.

-Затем все подобные термины сокращаются до формы топор = -b.

–И последний шаг — прояснить неизвестное.

Графическая интерпретация

Уравнение первой степени, поставленное в начале, может быть получено из уравнения прямой y = mx + c, в результате чего y = 0. Полученное значение x соответствует пересечению прямой с горизонтальной осью.

На следующем рисунке есть три линии. Начиная с зеленой линии, уравнение которой:

Делая y = 0 в уравнении прямой, получается уравнение первой степени:

Чье решение — x = 6/2 = 3. Теперь, когда мы детализируем график, легко понять, что на самом деле линия пересекает горизонтальную ось в точке x = 3.

Синяя линия пересекает ось x в точке x = 5, которая является решением уравнения –x + 5 = 0. Наконец, линия с уравнением y = 0,5x + 2 пересекает ось x в точке x = — 4, что легко увидеть из уравнения первой степени:

Примеры простых линейных уравнений

Целочисленные уравнения

Это те, в терминах которых нет знаменателей, например:

Дробные уравнения

Эти уравнения содержат по крайней мере один знаменатель, отличный от 1. Чтобы решить их, рекомендуется умножить все члены на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, чтобы исключить их.

Следующее уравнение является дробным типом:

Поскольку эти числа малы, нетрудно увидеть, что m.c.m (6, 8,12) = 24. Этот результат легко получить, выразив числа как произведение простых чисел или их степеней, давайте посмотрим:

Наименьшее общее кратное определяется путем умножения общего и необычного множителей 6, 8 и 12 на их наибольшую экспоненту, затем:

lcm (6,8,12) = 2 3 ⋅3 = 8 × 3 = 24

Поскольку у нас есть наименьшее общее кратное, его нужно умножить на каждый из членов уравнения:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Мы пользуемся распределительным свойством:

4x + 20 — 6x -9 = 2 — 10x

Все члены, содержащие неизвестный «x», сгруппированы в левой части равенства, а независимые или числовые члены остаются в правой части:

4x — 6x + 10 x = 2 +9 — 20

Буквальные уравнения

Это линейные уравнения с одним неизвестным, которые, однако, сопровождаются буквальными коэффициентами (буквами). Эти буквы обрабатываются так же, как и числа. Пример буквального уравнения первой степени:

Это уравнение решается так же, как если бы независимые члены и коэффициенты были числовыми:

-3ax — 5x = — b — 2a

Факторизация неизвестного «x»:

х (-3a — 5) = — b — 2a

х = (- b — 2a) / (-3a — 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Системы уравнений первой степени

Системы уравнений состоят из системы уравнений с двумя или более неизвестными. Решение системы состоит из значений, которые одновременно удовлетворяют уравнениям, и для его однозначного определения должно быть уравнение для каждой неизвестной.

Общий вид системы м линейные уравнения с п неизвестные это:

Если у системы есть решение, оно называется совместимый определен, когда существует бесконечный набор значений, которые удовлетворяют, это неопределенный совместимый, и, наконец, если у нее нет решения, то она несовместимый.

При решении систем линейных уравнений используются несколько методов: редукция, подстановка, выравнивание, графические методы, метод исключения Гаусса-Жордана и использование определителей являются одними из наиболее часто используемых. Но есть и другие алгоритмы решения, более удобные для систем со многими уравнениями и неизвестными.

Пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7лет — 9
6х = 3у + 6

Решение этой системы представлено далее в разделе решенных упражнений.

Линейные уравнения с абсолютным значением

Абсолютное значение действительного числа — это расстояние между его положением на числовой прямой и нулем на числовой прямой. Поскольку это расстояние, его значение всегда положительно.

Абсолютное значение числа обозначается полосами по модулю: │x│. Абсолютное значение положительного или отрицательного числа всегда положительно, например:

В уравнении абсолютного значения неизвестное находится между стержнями модуля. Рассмотрим следующее простое уравнение:

Есть две возможности, первая — это положительное число x, и в этом случае мы имеем:

Другая возможность состоит в том, что x — отрицательное число, в этом случае:

Это решения этого уравнения. Теперь посмотрим на другой пример:

Сумма внутри столбцов может быть положительной, поэтому:

Или это может быть отрицательно. В таком случае:

-x — 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

А ценность неизвестного:

Таким образом, это уравнение абсолютного значения имеет два решения: x₁ = 5 и x₂ = -17. Мы можем проверить, что оба решения приводят к равенству в исходном уравнении:

Простые решаемые упражнения

— Упражнение 1

Решите следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7y -9
6х = 3у + 6

Решение

Как предлагается, эта система идеальна для использования метода подстановки, поскольку во втором уравнении неизвестная Икс практически готов к оформлению:

И его можно сразу подставить в первое уравнение, которое затем становится уравнением первой степени с неизвестным «y»:

8 [(3y + 6) / 6] — 5 = 7y — 9

Знаменатель можно опустить, умножив каждый член на 6:

6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] — 6.5 = 6 .7y– 6. 9

8⋅ (3лет + 6) — 30 = 42лет — 54

Применяя распределительное свойство в первом члене справа от равенства:

24 года + 48-30 = 42 года — 54 ⇒ 24 года + 18 = 42 года — 54

Уравнение можно упростить, так как все коэффициенты кратны 6:

4лет + 3 = 7лет — 9

С этим результатом переходим к очистке от x:

х = (3у +6) / 6 → х = (12 + 6) / 6 = 3

— Упражнение 2.

Решите следующее уравнение:

Решение

Продукты представлены в этом уравнении, и, следуя инструкциям, данным в начале, они должны быть разработаны в первую очередь:

3х — 10х +14 = 5х + 36х + 12

Тогда все члены, содержащие неизвестные, переносятся в левую часть равенства, а в правую часть будут стоять независимые члены:

3x — 10x — 5x — 36x = 12 — 14

— Упражнение 3.

Сложение трех внутренних углов треугольника дает 180 °. Наивысшее превосходит второстепенное на 35 °, а последнее, в свою очередь, превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °. Какие углы?

Решение

Мы будем называть «x» большим углом, «y» — средним, а «z» — наименьшим. Когда в утверждении говорится, что их сумма равна 180º, можно записать:

Тогда мы знаем, что большее превышает меньшее на 35º, мы можем записать это так:

Наконец, наименьшее значение превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °:

У нас есть система из 3-х уравнений и 3-х неизвестных:

Решая для z из первого уравнения, мы имеем:

180 — х — у = х — у + 20

Передача неизвестных в левую часть, как всегда:

-x — y — x + y = 20 — 180

Буква «y» отменяется и остается:

Из второго уравнения находим значение z:

z = x — 35 = 80 — 35 = 45º

И значение y находится от первого или третьего:

y = 180 — x — z = 180 — 80 — 45 = 55º

Ссылки

1. Балдор. 1977. Элементарная алгебра. Венесуэльские культурные издания.
2. Монтерейский институт. Уравнения, неравенства и абсолютное значение. Получено с: montereyinstitute.org.
3. Интернет-учитель. Классификация линейных уравнений или уравнений первой степени. Получено с: profesorenlinea.cl.
4. Хоффман, Дж. Выбор тем по математике. Том 2.
5. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
6. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.

Ganoderma lucidum: характеристики, среда обитания и польза

Театр эпохи Возрождения: происхождение, характеристики и творчество