Уравнение первой степени с двумя переменными

Математика

55. Уравнение с двумя неизвестными. Рассмотрим теперь уравнение

Оно является записью задачи: найти числовые значения для x и y, чтобы двучлен 5x + 3y оказался равным числу 18.

Мы знаем, что если бы в этом двучлене было бы лишь одно неизвестное число, то и тогда мы сумели бы решить соответствующее уравнение. Поэтому возникает соображение, что здесь одно из неизвестных является как бы лишним: если взамен неизвестного y, например, взять какое угодно число, то мы получим уравнение с одним неизвестным.

А если так, то данное уравнение должно иметь сколько угодно решений, и выясняется способ их получения: станем давать одному из неизвестных, например, y, произвольные значения и всякий раз из получаемого уравнения с 1 неизвестным станем определять другое неизвестное x. Чтобы придать этой работе больше порядка, будем результаты ее записывать в таблице.

Дадим y значение 0, т. е. примем, что y = 0 (записано в первой строчке таблицы). Тогда наше уравнение обратится в

(в таблице записываем это число во втором столбце, озаглавленном буквою x).

Итак, мы получили одно решение нашего уравнения: y = 0 и x = 3(3/5) (если эти значения подставить в наш двучлен вместо x и y, то требование, чтобы двучлен равнялся числу 18, оправдается:
3 * 3(3/5) + 3 * 0 = 18).

Дадим y значение 1, т. е. примем, что y = 1 (вторая строчка таблицы); тогда получим

откуда 5x = 18 – 3 или 5x = 15 и x = 3 (записано во 2-ой строчке). Итак, найдено второе решение уравнения y = 1 и x = 3.

Дадим y значение 7, т. е. примем, что y = 7; тогда получим уравнение 5x + 21 = 18, откуда 5x = –3 и x = –3/5 (см. 3-ю строчку таблицы).

Примем еще y = –2½; тогда 5x + 3(–2½) = 18 или 5x – 7½ = 18, откуда 5x = 25½ и x = 5(1/10) = 5,1 (см. 4-ю строчку таблицы). Эту работу можно продолжить сколь угодно далеко. Итак, одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений; для их получения надо одному неизвестному давать произвольные значения и из получаемых уравнений определять всякий раз другое неизвестное .

Рассматривая предыдущую таблицу и вспоминая п. 49, мы установим: у нас y был независимым переменным, x — зависимым, или x является функцией y – a.

Мы можем несколько ускорить работу нахождения решений данного уравнения. Сочтем y за известное число (все равно, ведь, y мы всякий раз заменяли известным числом); тогда на уравнение 5x + 3y = 18 мы можем смотреть, как на уравнение с одним неизвестным x и решим это уравнение:

5x = 18 – 3y; x = (18 – 3y) / 5

Мы можем этот результат выразить словами так: мы из данного уравнения определили y через x .

Теперь по формуле (18 – 3y) / 5 мы можем легко найти сколько угодно решений, делая вычисления в уме. Примем, например, y = 2. Тогда надо (–3) умножить на (+2), получим –6; сложить (+18) и (–6) — получим +12 и разделить на 5 — получим x = +2(2/5). Еще пусть y = 10; тогда (–3) · (+10) = –30; (+18) + (–30) = –12; (–12) : (+5) = –2(2/5), т. е. x = –2(2/5) и т. д.

Возьмем еще уравнение:

Примем за независимое переменное x, а за зависимое y и определим y через x. Это можно сделать двумя приемами:

Быть может второй прием удобнее 1-го, так как его выполнение легче поддается воображению, если желательно выполнить определение y-а через x в уме.

Теперь мы можем найти сколько угодно решений нашего уравнения: 1) x = 0; y = –5(2/3); 2) x = 1; y = –4; 3) x = –1; y = –7(1/3) и т. д.

Следует приучиться быстро (в уме) определять одно из неизвестных данного уравнения с двумя неизвестными через другое. Примеры:
f55_3

Линейное уравнение первой степени с двумя переменными

Линейное уравнение первой степени с двумя переменными.

Линейное уравнение первой степени с двумя переменными – это уравнение вида ax + by = c, где x и y – неизвестные, a, b, c – некоторые числа, при этом хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю. Числа a и b называются коэффициентами при неизвестных, c – свободным членом.

Подобное определение не всегда сразу понятно, и, безусловно, требует дополнительных разъяснений. Попробуем объяснить.

Что означает уравнение с двумя переменными?

Тут все просто. Это уравнение, в котором присутствует сразу два неизвестных числа. Для какой задачи мы можем использовать подобную математическую модель? Например, в 7 Б классе учатся 18 человек. Причем неизвестно, сколько девочек и сколько мальчиков. Пусть мальчиков будет x, а девочек y. Таким образом, у нас получается такое уравнение:
x + y = 18. Заметим, что у нас много вариантов значений x и y, при которых наше уравнение обратится в верное числовое равенство. Например, x = 10, y = 8 или x = 5, y = 13 и т.д.

Такую пару чисел, при которой уравнение с двумя переменными обращается в верное равенство, называют решением уравнения. К примеру, x = 2 и y = 16 – решение уравнения x + y = 18. Это решение можно записать и в кратком виде — (2; 16). Важно при этом соблюдать порядок записи чисел. В уравнении вида ax + by = c решение записывается именно в таком порядке – (x; y). То есть сначала x, потом y.

Насколько много решений у уравнения с двумя переменными?

Обычно, если коэффициенты a и b не равны нулю, решений уравнения с двумя переменными бесконечное множество. Действительно, если подставлять в уравнение значения x, всегда можно будет определить соответствующее значение y, при котором уравнение обратится в верное равенство. Но бывает и такое, когда уравнение с двумя переменными не имеет решений. Такое возможно, когда, например, коэффициенты a и b равны нулю, а свободный член c ≠ 0.

Что означает уравнение первой степени?

Это означает что степень, в которую возводятся переменные этого уравнения – 1. То есть, у нас нет в уравнении переменных, которые мы возводим в квадрат, куб, четвертую степень, извлекаем корень и т.д.

Что означает линейное уравнение?

Линейное уравнение – это уравнение прямой линии. В этом легко убедиться, вспомнив понятие координатной плоскости. Мы знаем, что каждой паре чисел соответствует единственная точка на координатной плоскости. Теперь возьмем, к примеру, уравнение x + y = 2. Во множество решений данного уравнения попадают такие пары чисел: (0; 2), (2; 0), (1; 1), (5; -3), (-2; 4). Построим эти точки и проведем через них прямую m.

Мы получили график прямой m. Каждая точка этой прямой имеет координаты, являющиеся решением уравнения x + y = 2, или еще говорят, что каждая точка удовлетворяет уравнению x + y = 2. Вообще для того чтобы построить прямую, достаточно найти 2 пары чисел, удовлетворяющих линейному уравнению. И через точки с данными координатами можно строить прямую.

Алгебра. 7 класс

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Математические термины

Стандартный вид

Стандартный вид

Определение

Значение переменной

Необходимо запомнить

Уравнение вида $ax + by =c$, где $x$ и $y$ – неизвестные и свободный член c – любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.

$ax + by =c$ – нормальный вид такого уравнения.

Каждая пара значений x и y, удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.

Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при y равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ($x$). Например:

Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений, является прямая, параллельная оси ординат.

Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если $a = 0$ и $b = 0$, то возможны два случая:

1) $0x + 0y =17$ или $0 = 17$ – уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;

2) $0x + 0y = 0$ или $0 = 0$ – уравнение имеет бесчисленное множество решений (причём значения $x$ и $y$ здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.

Задача на составление неопределенного уравнения

Трёхногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось $15$. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: $x$ – число инопланетян, $y$ – число питомцев, тогда получим уравнение $3x + 2y = 15$.

Давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

$3x + 2y = 15$. Выразим y через $x$: $y=\frac<15-3x><2>$, далее воспользуемся методом перебора: при $x = 1$, $y = 6$, при $x = 2$, $y\: \notin \: N$ , при $x = 3$, $y = 3$.

Ответ: $1$ инопланетянин и $6$ питомцев; $3$ инопланетянина и $3$ питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.