Уравнение первой степени с одним неизвестным это

Математика

49. Происхождение уравнений . Возьмем какой-либо линейный двучлен (см. п. 43), например, 5x – 7. Здесь буква x обозначает какое-либо число. Мы можем заменить x любым числом. Заменим x сначала нулем; тогда наш двучлен окажется равен –7. Заменим затем x числом +1; тогда наш линейный двучлен окажется равен числу –2 (в самом деле, придется 5 умножить на +1 и к полученному произведению прибавить –7); заменим затем x числом 2, — тогда наш линейный двучлен окажется равен +3; заменим x числом 2½, — тогда двучлен окажется равен +5½; заменим x числом –2½, — тогда двучлен окажется равен числу –19½ и т. д. без конца.

Мы можем записать эти результаты в виде таблицы:

Мы видим, что число x изменяется; то взяли x = 0, то взяли x = 1 и т. д. — поэтому его называют переменным; так как, кроме того, число x меняется только по нашему желанию (мы можем взять для x произвольное значение), то это переменное называется независимым — в рассматриваемом примере x является независимым переменным. Рассматриваемый нами двучлен (5x – 7) также принимает различные значения (см. таблицу), но эти значения получаются в зависимости от того, какое числовое значение дано независимому переменному x. Поэтому мы можем установить, что в рассматриваемом примере двучлен меняется в зависимости от x; двучлен является таким образом здесь зависимым переменным. Часто называют еще зависимое переменное именем функция (добавляют: чего, какого независимого переменного): двучлен 5x – 7 является функциею x.

Возможен вопрос, обратный предыдущему: нельзя ли найти такое числовое значение для x, чтобы наш двучлен оказался равен какому-нибудь наперед заданному числу, например 55? Этот вопрос записан в последней строчке нашей таблицы: какое число надо взять для x (записано при помощи знака вопроса), чтобы двучлен оказался равен числу 55?

Удобно записать этот вопрос в такой форме:

(мы хотим выбрать число для x, чтобы 5x – 7 равнялось числу 55).

Последняя запись носит название «уравнение». Наше уравнение 5x – 7 = 55 выражает, следовательно, запись задачи: найти число для x, чтобы наш двучлен оказался равен 55. Непосредственным соображением эту задачу легко решить: из числа 5x вычитается число 7 и получается 55, — значит число 5x должно равняться 55 + 7, т. е. 62 или 5x = 62. Здесь известно произведение двух множителей (62) и один из них (5), — надо найти другой. Для этой цели надо 62 разделить на 5 — получим 12(2/5), из чего заключаем, что для x надо взять числовое значение 12(2/5). Мы решили нашу задачу и это решение можем записать в форме
x = 12(2/5).

Этот результат называется решением нашего уравнения.

Также легко найти решения других подобных уравнений.

12a – 9 = 51
a = 5 и т. п.

В каждом примере в первой строчке написано уравнение, которое является записью некоторой задачи (например, для третьего примера: найти число для a, чтобы двучлен 12a – 9 равнялся числу 51), во второй строчке каждого числа дано решение соответствующего уравнения.

Возникает желание развить предыдущее: нельзя ли записывать подобным же образом более сложные вопросы. Вот, например, один из них:

Возьмем два двучлена с одним и тем же независимым переменным, например, 4x + 3 и 7x – 1. Если мы станем x давать различные значения, то, в зависимости от них, будем получать соответствующие значения для двучленов:

пусть x = 0; тогда 1-ый двучлен = 3, а 2-ой = –1;
пусть x = 1; тогда 1-ый двучлен = 7, а 2-ой = 6;
пусть x = –1; тогда 1-ый двучлен = 1, а 2-ой = –8;
пусть x = 2; тогда 1-ый двучлен = 11, а 2-ой = 13 и т. д.

Возникает вопрос: нельзя ли отыскать такое значение для x, чтобы оба наши двучлена оказались равными одному и тому же числу. Эту задачу возможно записать в форме уравнения:

Теперь уже несколько труднее найти решение этого уравнения. Однако, все-таки возможно 1) увидать, что член 4x должен оказаться на 4 единицы меньше члена 7x (к члену 4x прибавляется еще 3 единицы, а от члена 7x вычитается одна единица, и тогда они оказываются равными), откуда заключаем, что 3x должно равняться 4 и, следовательно, для x надо взять число 1(1/3). И тогда мы запишем решение нашего уравнения:

Можно записывать уравнением и более сложные задачи. Например, уравнение

(x – 3)/(x + 3) – (x – 1)/(x + 1) = ¼

выражает задачу: найти такое значение для x чтобы дробь (x – 3)/(x + 3) оказалась на ¼ больше дроби (x – 1)/(x + 1). Непосредственно решить эту задачу уже вряд ли удастся.

В рассмотренных примерах мы имели лишь такие уравнения, где требовалось найти числовое значение лишь для одного переменного в каждом уравнении. Поэтому такие уравнения называются уравнениями с одним неизвестным.

Ясно, что могут иметь место и уравнения с двумя, с тремя и более неизвестными. Так, например, задача: найти числовые значения для x и y так, чтобы дробь x/y была на ¼ больше дроби x/(y + 8), может быть записана уравнение с двумя неизвестными:

Также точно, уравнение

выражает задачу: найти числа для x, y и z, чтобы трехчлен 3x – 5y + 2z оказался равен 14, — здесь мы имеем уравнение с тремя неизвестными.

Мы видели, что сообразить непосредственно, какому числу должно равняться неизвестное (или: каким числам должны равняться неизвестные), становится тем труднее, чем сложнее уравнение. Поэтому является потребность изыскать способы, при помощи которых можно было бы легко находить решение уравнений. Мы должны в первую очередь научиться решать уравнения с одним неизвестным и притом такие, где не придется встретиться с квадратом, кубом и т. д. этого неизвестного (уравнения первой степени).

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

Решение линейных уравнений.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте посмотрим на 2 уравнения: 10x = 36 и 3x 2 = 2

Можем ли мы сказать, что оба уравнения являются линейными уравнениями первой степени?

Конечно, нет. Хотя, по определению линейных уравнений, оба уравнения подходят, у второго уравнения переменная входит в него во второй степени, а это противоречит отличительной особенности линейного уравнения первой степени.

Определение: Уравнение вида ax = b, где – x переменная, a, b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

А что означает решить уравнение?

Решить уравнение – означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.

Давайте подумаем, является ли уравнение 2(5x + 4) = 2x – 16 – линейным уравнением первой степени? Нет, так как оно не записано в виде ax = b. Можно ли привести его к такому виду?

Попробуем это сделать. Переменная x входит в это уравнение первой степени. Все такие уравнения можно преобразовать в вид ax + b = 0 с помощью тождественных преобразований. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным законом умножения.

Вычтем из правой и левой частей уравнения 2x и 8.

Затем приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим уравнение стандартного вида.

А как же проверить, является ли число корнем уравнения, не решая его?

В таком случае, нам достаточно подставить значение переменной в уравнение и проверить, выполняется равенство или нет.

Чтобы узнать, является ли число корнем уравнения, нужно:

— Подставить вместо переменной числовое значение.

— Посмотреть, получилось верное равенство или нет.

Если верное, то число является корнем уравнения, в противном случае – нет.

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени и числа.

Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки:

Линейное уравнение имеет вид:

Задание 1. Какое значение переменной удовлетворяет уравнению 4x – 2 = 14?

Для того чтобы определить, какое из значений удовлетворяет уравнению, нужно подставить вместо переменной соответствующее значение и проверить, получается ли истинное равенство. Соответственно, при истинности, значение переменной будет удовлетворять условию.

При x = 0 получаем: 4 · 0 – 2 = 14

–2 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 2,5 получаем: 4 · 2,5 – 2 = 14

3 = 14 – ложь. Следовательно, x = 2,5 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 4 получаем: 4 · 4 – 2 = 14

14 = 14 – истина. Следовательно, x = 4 удовлетворяет решению уравнения.

При x = 0,1 получаем: 4 · 0,1 – 2 = 14

–1,6 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0,1 не удовлетворяет решению уравнения.

Задание 2. Уравнение 2(2x – 3) = 2x + 16 надо привести к стандартному виду.

Для того чтобы определить, какое из значений является верным приведением уравнения к стандартному виду, нужно просто привести уравнение к стандартному виду.

2(2x – 3) = 2x + 16 – раскроем скобки, умножив число на разность;

4x – 6 = 2x + 16 – преобразуем уравнение, перенеся слагаемые, содержащие переменные в левую часть уравнения, а числа в правую, меняя при этом знак на противоположный;

4x – 2x = 16 – 6 – упростим выражение, приведя подобные слагаемые;

2x = 22 – полученное уравнение приведено к стандартному виду ax = b, где a = 1, b = 22

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения — Наука

Содержание:

В первая степень или линейные уравнения с неизвестным — это те, которые могут быть выражены как сумма двух членов следующим образом:

куда а и б, с участием к ≠ 0, являются действительными числами R или также комплексными C. Чтобы решить эту задачу, члены транспонируются, что означает изменение членов с одной стороны равенства на другую.

Чтобы решить неизвестное, транспонируется член + b, который должен перейти в правую часть равенства с измененным знаком.

Затем значение x очищается следующим образом:

В качестве примера мы собираемся решить следующее уравнение:

Переносим член -5 в правую часть с измененным знаком:

Это эквивалентно добавлению 5 к обеим сторонам исходного уравнения:

6x — 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

А теперь решаем неизвестный «х»:

Это эквивалентно делению обеих частей равенства на 6. Таким образом, мы можем использовать следующее, чтобы получить решение:

-Вы можете прибавить или вычесть одно и то же количество к обеим сторонам равенства в уравнении, не изменяя его.

-Вы также можете умножить (или разделить) на одинаковую величину все члены как слева, так и справа от уравнения.

-И если оба члена уравнения возведены в одну и ту же степень, равенство также не изменяется.

Как решать уравнения первой степени

Решение уравнения первой степени также называется его корнем. Именно значение x преобразует исходное выражение в равенство. Например в:

Если мы подставим в это уравнение x = 5, мы получим:

Поскольку линейные уравнения первой степени бывают разных форм, которые иногда не очевидны, существует ряд общих правил, которые включают в себя несколько алгебраических манипуляций, чтобы найти значение неизвестного:

— Во-первых, если есть указанные операции, их необходимо провести.

— Группирующие символы, такие как круглые скобки, скобки и фигурные скобки, если они существуют, должны быть удалены с сохранением соответствующих знаков.

— Термины переносятся так, что все те, которые содержат неизвестное, помещаются с одной стороны равенства, а те, которые не содержат его, с другой.

-Затем все подобные термины сокращаются до формы топор = -b.

–И последний шаг — прояснить неизвестное.

Графическая интерпретация

Уравнение первой степени, поставленное в начале, может быть получено из уравнения прямой y = mx + c, в результате чего y = 0. Полученное значение x соответствует пересечению прямой с горизонтальной осью.

На следующем рисунке есть три линии. Начиная с зеленой линии, уравнение которой:

Делая y = 0 в уравнении прямой, получается уравнение первой степени:

Чье решение — x = 6/2 = 3. Теперь, когда мы детализируем график, легко понять, что на самом деле линия пересекает горизонтальную ось в точке x = 3.

Синяя линия пересекает ось x в точке x = 5, которая является решением уравнения –x + 5 = 0. Наконец, линия с уравнением y = 0,5x + 2 пересекает ось x в точке x = — 4, что легко увидеть из уравнения первой степени:

Примеры простых линейных уравнений

Целочисленные уравнения

Это те, в терминах которых нет знаменателей, например:

Дробные уравнения

Эти уравнения содержат по крайней мере один знаменатель, отличный от 1. Чтобы решить их, рекомендуется умножить все члены на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, чтобы исключить их.

Следующее уравнение является дробным типом:

Поскольку эти числа малы, нетрудно увидеть, что m.c.m (6, 8,12) = 24. Этот результат легко получить, выразив числа как произведение простых чисел или их степеней, давайте посмотрим:

Наименьшее общее кратное определяется путем умножения общего и необычного множителей 6, 8 и 12 на их наибольшую экспоненту, затем:

lcm (6,8,12) = 2 3 ⋅3 = 8 × 3 = 24

Поскольку у нас есть наименьшее общее кратное, его нужно умножить на каждый из членов уравнения:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Мы пользуемся распределительным свойством:

4x + 20 — 6x -9 = 2 — 10x

Все члены, содержащие неизвестный «x», сгруппированы в левой части равенства, а независимые или числовые члены остаются в правой части:

4x — 6x + 10 x = 2 +9 — 20

Буквальные уравнения

Это линейные уравнения с одним неизвестным, которые, однако, сопровождаются буквальными коэффициентами (буквами). Эти буквы обрабатываются так же, как и числа. Пример буквального уравнения первой степени:

Это уравнение решается так же, как если бы независимые члены и коэффициенты были числовыми:

-3ax — 5x = — b — 2a

Факторизация неизвестного «x»:

х (-3a — 5) = — b — 2a

х = (- b — 2a) / (-3a — 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Системы уравнений первой степени

Системы уравнений состоят из системы уравнений с двумя или более неизвестными. Решение системы состоит из значений, которые одновременно удовлетворяют уравнениям, и для его однозначного определения должно быть уравнение для каждой неизвестной.

Общий вид системы м линейные уравнения с п неизвестные это:

Если у системы есть решение, оно называется совместимый определен, когда существует бесконечный набор значений, которые удовлетворяют, это неопределенный совместимый, и, наконец, если у нее нет решения, то она несовместимый.

При решении систем линейных уравнений используются несколько методов: редукция, подстановка, выравнивание, графические методы, метод исключения Гаусса-Жордана и использование определителей являются одними из наиболее часто используемых. Но есть и другие алгоритмы решения, более удобные для систем со многими уравнениями и неизвестными.

Пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7лет — 9
6х = 3у + 6

Решение этой системы представлено далее в разделе решенных упражнений.

Линейные уравнения с абсолютным значением

Абсолютное значение действительного числа — это расстояние между его положением на числовой прямой и нулем на числовой прямой. Поскольку это расстояние, его значение всегда положительно.

Абсолютное значение числа обозначается полосами по модулю: │x│. Абсолютное значение положительного или отрицательного числа всегда положительно, например:

В уравнении абсолютного значения неизвестное находится между стержнями модуля. Рассмотрим следующее простое уравнение:

Есть две возможности, первая — это положительное число x, и в этом случае мы имеем:

Другая возможность состоит в том, что x — отрицательное число, в этом случае:

Это решения этого уравнения. Теперь посмотрим на другой пример:

Сумма внутри столбцов может быть положительной, поэтому:

Или это может быть отрицательно. В таком случае:

-x — 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

А ценность неизвестного:

Таким образом, это уравнение абсолютного значения имеет два решения: x₁ = 5 и x₂ = -17. Мы можем проверить, что оба решения приводят к равенству в исходном уравнении:

Простые решаемые упражнения

— Упражнение 1

Решите следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7y -9
6х = 3у + 6

Решение

Как предлагается, эта система идеальна для использования метода подстановки, поскольку во втором уравнении неизвестная Икс практически готов к оформлению:

И его можно сразу подставить в первое уравнение, которое затем становится уравнением первой степени с неизвестным «y»:

8 [(3y + 6) / 6] — 5 = 7y — 9

Знаменатель можно опустить, умножив каждый член на 6:

6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] — 6.5 = 6 .7y– 6. 9

8⋅ (3лет + 6) — 30 = 42лет — 54

Применяя распределительное свойство в первом члене справа от равенства:

24 года + 48-30 = 42 года — 54 ⇒ 24 года + 18 = 42 года — 54

Уравнение можно упростить, так как все коэффициенты кратны 6:

4лет + 3 = 7лет — 9

С этим результатом переходим к очистке от x:

х = (3у +6) / 6 → х = (12 + 6) / 6 = 3

— Упражнение 2.

Решите следующее уравнение:

Решение

Продукты представлены в этом уравнении, и, следуя инструкциям, данным в начале, они должны быть разработаны в первую очередь:

3х — 10х +14 = 5х + 36х + 12

Тогда все члены, содержащие неизвестные, переносятся в левую часть равенства, а в правую часть будут стоять независимые члены:

3x — 10x — 5x — 36x = 12 — 14

— Упражнение 3.

Сложение трех внутренних углов треугольника дает 180 °. Наивысшее превосходит второстепенное на 35 °, а последнее, в свою очередь, превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °. Какие углы?

Решение

Мы будем называть «x» большим углом, «y» — средним, а «z» — наименьшим. Когда в утверждении говорится, что их сумма равна 180º, можно записать:

Тогда мы знаем, что большее превышает меньшее на 35º, мы можем записать это так:

Наконец, наименьшее значение превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °:

У нас есть система из 3-х уравнений и 3-х неизвестных:

Решая для z из первого уравнения, мы имеем:

180 — х — у = х — у + 20

Передача неизвестных в левую часть, как всегда:

-x — y — x + y = 20 — 180

Буква «y» отменяется и остается:

Из второго уравнения находим значение z:

z = x — 35 = 80 — 35 = 45º

И значение y находится от первого или третьего:

y = 180 — x — z = 180 — 80 — 45 = 55º

Ссылки

1. Балдор. 1977. Элементарная алгебра. Венесуэльские культурные издания.
2. Монтерейский институт. Уравнения, неравенства и абсолютное значение. Получено с: montereyinstitute.org.
3. Интернет-учитель. Классификация линейных уравнений или уравнений первой степени. Получено с: profesorenlinea.cl.
4. Хоффман, Дж. Выбор тем по математике. Том 2.
5. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
6. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.

Устойчивое потребление: для чего это нужно, важность, действия, примеры