Уравнение плоскости 11 класс конспект урока

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
2. Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
3. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
4. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
5. Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
6. Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).

1. Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
2. Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
3. Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
4. Какой вид имеет общее уравнение прямой?
5. Какой вид имеет уравнение сферы?

Конспект урока : » Угол между плоскостями» ( 11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости

Повторение пройденного материала :

Скалярное умножение векторов.

Скалярное умножение векторов определяется конструкцией:

(1)

Скалярное произведение векторов в координатной форме имеет вид:

(Со скалярным произведением векторов сталкиваемся в повседневной жизни скажем , оплачивая покупки в магазине:

Угол между векторами : (2)

В координатной форме это будет записано следующим образом: (3)

б) Общее уравнение плоскости: ax + by + cz + d = 0(5)

в) Уравнение плоскости, проходящее через три точки А( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ), B ( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ) и C ( x ₃ ; y ₃ ; z ₃ )

Пусть М( x ; y ; z ) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы AB , AC и AM компланарны. Запишем условие компланарности векторов

Поскольку равные векторы (см равенство (6)) имеют равные координаты, тополучаем систему:

Решая, например систему первых двух уравнений и выражая a и b через x и y , а затем подставляя в третье уравнение получим уравнение плоскости, проходящее через три точки

ПРИМЕР: В прямоугольной системе координат точки А, В и С заданы своими координатами: А(– 1; 2; 0), B (2; – 2; – 1), C (3;– 1; 2)

а) Напишите уравнение плоскости, проходящей через это три точки , б ) запишите координаты нескольких векторов, перпендикулярных этой плоскости ; в ) Под каким углом к этой плоскости направлен вектор m

а) На плоскости АВС возьмем произвольную точку М, координаты которой ( x ; y ; z )

Поскольку все четыре точки лежат на плоскости, то векторы AM , AB , AC –компланарные.

Удобно решать систему, составленную из первого и третьего уравнений:

Теперь, полученное решение подставим во второе уравнение системы (7)

Итак, общее уравнение плоскости, заданной данными тремя данными точками определяется уравнением:

б) p <11; 10; – 7>данный вектор, составлен из коэффициентов общего уравнения плоскости, поэтому данный вектор – перпендикулярен этой плоскости.

Тогда любой вектор, коллинеарный вектору р также будет перпендикулярен данной плоскости: 3 р ; – 0,5 р

Угол между вектором m и плоскостью – угол между этим вектором и его проекцией на эту плоскость, т.е. это угол α

Заметим, что α + β = 90 0 . Тогда (8)

Эта же идея лежит в основе нахождения угла между прямой и плоскостью. Важно отметить что этот угол по определения всегда острый, поэтому в формуле (8) в числителе дроби необходимо поставить знак модуля:

Угол между плоскостями

Здесь векторы, перпендикулярные соответствующим плоскостям.

Расстояние между точкой и плоскостью

Напоминаю, что формула, позволяющая найти расстояние от точки, заданной своими координатами М( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) в определенной системе отсчета до плоскости, заданной в этой же системе уравнением ax + by + cz + d = 0 имеет вид:

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ ребро равно 6. На ребре CC ₁ отметили точку М так, что CM : MC ₁ =2 : 1; точка K лежит на середине DC . Через точки В ₁ , М и К проведено сечение. Найти расстояние от точки В до плоскости этого сечения и найти угол между прямой AC ₁ и плоскостью сечения.

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. ( Понятно, что можно ввести систему координат иначе, но на результат решения задачи он не скажется)

Для решения задачи, нам нужно знать координаты точек A , B 1, M , K и C ₁ .Используя тот факт, что длины ребер куба равны 6 и отрезок СМ составляет 2/3 длины ребра СС1, то СМ = 4. Поэтому координаты вышеперечисленных точек записываются следующим образом:

A (6; 0; 0), B ₁ (0; 0; 6), M (0; 6; 4), K ( 3; 6; 0), C ₁ (0; 6; 6),

Пишем уравнение плоскости B ₁ MK .

Итак, расстояние от точки В до плоскости B ₁ MK рассчитываем по формуле (11)

Для определения угла между прямой АС ₁ и плоскостью B ₁ MK запишем координаты вектора AC ₁ < –6;6;6>– направляющего вектора прямой АС ₁ и определим угол, по формуле (9)

— вектор, перпендикулярный плоскости

Задачи для самоподготовки к контрольной работе по теме скалярное умножение векторов, координатный метод в пространстве.( уравнение плоскости)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ АВ = ВС = 4, СС ₁ = 6. Точка М лежит на отрезке DD ₁ и DM : MD ₁ = 1 : 2. Точка N лежит на середине В ₁ С ₁ . Введите прямоугольную систему координат. а) Напишите уравнение плоскости AB ₁ M ; б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью AB ₁ M ; в) Найдите расстояние от точки N до плоскости AB ₁ M ; г) Найдите угол между плоскостями AB ₁ M и MNC ; д) Найдите расстояние между прямыми MN и AB ₁

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ АВ =4, ВС = 6, СС ₁ = 8. Через середину ребра DC точку М перпендикулярно прямой B ₁ D проведено сечение. Введите прямоугольную систему координат. а) Напишите уравнение плоскости, содержащее это сечение; б) Найдите угол между плоскостью этого сечения с прямой А ₁ С; в) Найдите расстояние от точки В ₁ до этой плоскости; г) Найдите угол между плоскостью сечения и гранью ADD ₁ ; д) Найдите расстояние между прямой А ₁ М и прямой С ₁ В

Вычислить скалярное произведение векторов:

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ определите угол между прямыми AD ₁ и BM , где М – середина ребра DD ₁ .

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ длина ребра равна 8. Через вершину С ₁ , середину ребра А ₁ В ₁ и середину ребра DD ₁ Проведено сечение. а) Найдите угол, который образует плоскость этого сечения с гранью АА ₁ D . б) Найдите расстояние от вершины В до плоскости этого сечения.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 964 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 12.04.2018
• 636
• 3

• 12.04.2018
• 1199
• 16

• 12.04.2018
• 2782
• 34

• 12.04.2018
• 158
• 0

• 12.04.2018
• 349
• 0

• 12.04.2018
• 394
• 1

• 12.04.2018
• 300
• 0

• 12.04.2018
• 6064
• 175

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.04.2018 967
• DOCX 660.7 кбайт
• 27 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Маврина Татьяна Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 105552
• Всего материалов: 110

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Конспект по теме «Уравнение плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Метод координат. Уравнение плоскости.

Нормальный вектор плоскости – любой ненулевой вектор, который лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Существует бесконечное количество нормальных векторов данной плоскости. Если – нормальный вектор плоскости, то вектор (t≠0) – также нормальный вектор этой плоскости.

Каждый из векторов считается нормальным вектором соответственно плоскости Oyz, Oxy, Oxz.

Для определения координат нормального вектора достаточно знать уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D =0

Пример : Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(–1;2;–3) и два неколлинеарных вектора .

3(x+1) + 28(z+3) – 10(y-2) – (-15(z+3) + 4(y-2) + 14(x+1)) = 0 3x + 3 + 28z + 84 – 10y + 20 + 15z + 45 – 4y + 8 – 14x – 14 = 0

–11x – 14y + 43z + 146 = 0 => 11x + 14y – 43z – 146 = 0.

II. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), не лежащие на одной прямой.

1 способ: Если точка, лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, т.е. подставляем координаты каждой точки в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и решаем систему из трёх уравнений.

Пример : Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0),

,

Таким образом, уравнение искомой плоскости примет вид: –Dx – Dy + Dz + D = 0 │: (–D) => x + y – z – 1 = 0.

IV. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀), параллельно плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0.

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали, поэтому искомое уравнение плоскости будет отличаться от данного только свободным коэффициентом, который можно найти, подставляя координаты точки M в уравнение A₁x + B₁y + C₁z + D = 0.