Уравнение плоскости к оси координат

Уравнение плоскости в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение плоскости в отрезках. Представим методы преобразования уравнения плоскости в отрезках в уравнение плоскости в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение плоскости в отрезках представляется следующей формулой:

,

(1)

где a, b, c отличные от нуля числа.

Отметим, что числа a, b, c в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy, Oz (Рис.1, Рис.2).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, z=0 получим x=a, если же подставить в (1) x=0, y=0 то получим z=c, подставвляя, наконец, x=0, z=0 получим y=b. Таким образом плоскость, определяемая уравнением (1) проходит через точки M₁(a, 0, 0), M₂(0, b, 0) и M₃(0, 0, с).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках −1,3 и 7, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1, b=3 и c=7 в (1), получим:

.

.

Приведение уравнения плоскости в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

.

Далее, умножив обе части уравнения на abc, получим:

.

Пример 2. Уравнение плоскости в отрезках представлено следующим уравнением:

.

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

.

Умножив обе части уравнения на 10, получим:

.

.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

где A, B, C, D − отличные от нуля числа, т.е. уравнение плокости является полным (о полных и неполных уравнениях плоскости смотрите здесь).

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член D на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −D:

.

(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

.

(3)

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение плоскости в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=−2, B=3, C=5, D=−4. Подставив эти значения в формулу (3), получим:

Уравнение плоскости в отрезках: описание, примеры, решение задач

Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.

Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 , где a , b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат O х , O у и O z в трехмерной системе координат O х у z . Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

Действительно, координаты точек a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

a a + 0 b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + b b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + 0 b + c c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1

Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.

Проиллюстрируем описанное выше примером.

Плоскость проходит через точки — 2 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 и 0 , 0 , — 1 2 на осях координат в прямоугольной системе координат O x y z . Необходимо записать уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Определим положение отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. На оси абсцисс откладываем в отрицательном направлении отрезок длиной 2 единицы. На оси ординат в положительном направлении откладываем отрезок длиной 3 . На оси аппликат в отрицательном направлении откладываем отрезок длиной 1 2 .

При этом, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1 .

Ответ: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1

Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Плоскость в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнением плоскости в отрезках вида x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 . Необходимо изобразить эту плоскость на графике.

Решение

Изобразим оси координат, обозначаем начало координат и единичные отрезки на осях. Отмечаем длины отрезков, отсекаемых плоскостью, на каждой из осей. Соединяем концевые точки отрезков прямыми линиями. Полученная плоскость имеет вид треугольника. Она соответствует заданному уравнению плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Ответ:

Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c и соединить их прямыми линиями.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида A x + B y + C z + D = 0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.

Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , где A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , D ≠ 0 .

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.

A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = — D

Так как D ≠ 0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на – D : A — D x + B — D y + C — D z = 1 .

Так как A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x , y и z . Последнее уравнение эквивалентно равенству x — D A + y — D B + z — D C = 1 . При этом мы использовали очевидное равенство p q = 1 q p , p , q ∈ R , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить — D A = a , — D B = b , — D C = c .

Разберем решение примера.

Плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в пространстве задана уравнением вида 3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 . Переведем это уравнение в уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Данное в условии задачи уравнение является полным уравнением плоскости. Это дает нам возможность привески его к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем — 6 в правую часть равенства, а затем разделим обе части равенства на 6 :

3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 ⇔ 3 x + 9 y + 6 z = 6 3 x + 9 y — 6 z = 6 ⇔ 1 2 x + 3 2 y — z = 1

Коэффициенты при переменных x, y и z отправим в знаменатели: 1 2 x + 3 2 y — z = 1 ⇔ x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1 . Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках.

Ответ: x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.

В разделе плоскость в пространстве мы рассмотрели плоскость с позиций геометрии. В этой статье мы взглянем на плоскость с позиций алгебры, то есть, перейдем к описанию плоскости с помощью уравнения плоскости.

Сначала разберемся с вопросом: «Что такое уравнение плоскости»? После этого рассмотрим основные виды уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного плостранства.

Навигация по странице.

Уравнение плоскости – определение.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.

Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x , y и z , которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Осталось выяснить, какой вид имеет уравнение плоскости. Ответ на этот вопрос содержится в следующем пункте этой статьи. Забегая вперед, отметим, что уравнение плоскости может быть записано по-разному. Существование различных видов уравнения плоскости обусловлено спецификой решаемых задач.

Общее уравнение плоскости.

Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.

Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Следует заметить, что уравнение вида , где — некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства и эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнению соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.

Если все коэффициенты А , В , С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz , уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy , а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A , B и C в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

Рекомендуем ознакомиться с материалом статьи общее уравнение плоскости, где информация по теме изложена детальнее, подробно разобраны решения характерных примеров и задач.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках.

Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.

Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .

Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках, там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.

Нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости, если длина вектора равна единице, то есть, , и .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь — направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .

Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости.

Рекомендуем более детально разобраться с данным видом уравнения плоскости, посмотреть подробные решения характерных примеров и задач, а также научиться приводить общее уравнение плоскости к нормальному виду. Это Вы можете сделать, обратившись к статье нормальное уравнение плоскости.