Уравнение плоскости направляющий вектор и точка

Пункт 2. Вывод уравнения плоскости по точке и двум направляющим.

Пусть даны точка и 2 направляющих вектора ими однозначно порождается некоторый параллелограмм, а следовательно и плоскость. Одного направляющего вектора недостаточно, ведь тогда плоскость может вращаться вокруг него, то есть плоскость не будет однозначно фиксирована.

Обозначим координаты направляющих, например, так: и .

Первый способ. Можно найти нормаль к плоскости как векторное произведение 2 направляющих векторов и далее искать уравнение плоскости по точке и нормали, методом, рассмотренным в пункте 1. Но это будет решение в 2 шага.

Однако можно также получить уравнение плоскости сразу, без вычисления векторного произведения:

Второй способ.Возьмём произвольную точку . Если она принадлежит плоскости, то вектор (показан красным цветом) будет лежать в плоскости, то есть тройка векторов , образует линейно-зависимую систему (ЛЗС), то есть эти векторы не образуют параллелепипед, а лежат в одной плоскости.

Тогда смешанное произведение 0, то есть определитель, составленный из них, равен 0:

Вычисляя этот определитель, мы получим в качестве результата некоторое уравнение, содержащее x,y,z. А если начальная точка (0,0,0), то уравнение будет вычисляться с помощью такого определителя: .

Пример.Построить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно 2 направляющим (1,2,3) и (1,1,1).

Решение. . Можем разложить по первой строке: = .

Для удобства, чтобы 1-й коэффициент был положителен, можно домножить на . Ответ: .

Замечание.Векторы можно поменять местами, и это не влияет на уравнение плоскости. Неважно, какой из них считается первым, а какой вторым. Если все миноры сменят знак, то из уравнения просто можно будет вынести коэффициент .

Замечание. Построение уравнения плоскости по трём точкам. Если дано 3 точки, достаточно взять 2 направляющих и (пусть это и будут те самые ) и затем действовать так, как сказано ранее.

Лекция № 7. 14. 10. 2016

Пункт 3. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дано уравнение плоскости и произвольная точка .

Возможно, она лежит в плоскости (тогда расстояние по формуле автоматически получится 0). Но в общем случае она не принадлежит плоскости. Мы не знаем, где основание перпендикуляра, более того, его и не потребуется искать.

Возьмём произвольную точку в плоскости. Сделать это просто: присвоим какие-нибудь значения 2 переменным из трёх, и вычислим третью. Например, как правило, задать x,y и вычислить z.

Итак, выбрали какую-то точку в плоскости. Отрезок между и не перпендикулярен плоскости, но его проекция на нормаль — это как раз и есть кратчайшее расстояние до плоскости (d).

= =

.

Если подставить в уравнение плоскости (в числителе) точку, лежащую в плоскости, то получим 0. В общем же случае, результат подстановки некоторой точки, не лежащей в плоскости, в уравнение плоскости, характеризует удаление от плоскости.

Пункт 4. Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны 2 плоскости.

Если рассматривать это как систему уравнений, то видим, что 2 уравнения и 3 переменных, то есть по меньшей мере одна свободная переменная. Это означает, что если решения есть, то их бесконечно много. Это и есть все точки, принадлежащие прямой, являющейся пересечением плоскостей.

Чтобы найти пересечение, достаточно решить систему уравнений, где 2 уравнения — это и есть уравнения этих плоскостей.

Если то плоскости совпадают, так как уравнения полностью пропорциональны.

Если то плоскости параллельны. Дело в том, что если из одного уравнения вычесть кратное второму, то получим все 0 коэффициенты при x, y, z, и останется противоречивое уравнение (некая ненулевая константа = 0).

Если пропорциональность нарушена среди каких-то из первых 3 дробей, то плоскости пересекаются по прямой.

Пункт 5. Угол между плоскостями и метод его нахождения.

Можно искать как угол между нормалями (показаны красным). Их координаты известны — это и . В то же время известно, что . Тогда = . .

Прямая в пространстве.

Для прямой на плоскости и для плоскости в пространстве есть однозначно определённое направление нормали (перпендикуляра) т.к. там размерности рассматриваемых многообразий 1 и 2 (2 и 3 соответственно), то есть «не хватает» одной размерности. А для прямой в пространстве не хватает 2 размерностей (1 и 3). Это совершенно новый случай, здесь нельзя однозначно задать перпендикуляр. Есть целая плоскость, перпендикулярная прямой, то есть бесконечное число нормалей. А вот направляющий вектор однозначно определён (с точность до его длины, конечно). Это проявится в том, что мы получим другой тип уравнений.

75. Различные уравнения плоскости

Пусть в пространстве R 3 Задана прямоугольная система координат Oxyz.

Определение 1. Нормальным вектором плоскости A называется любой ненулевой вектор N Перпендикулярный плоскости A.

Пусть N = (A,B,C) ≠ 0, — нормальный вектор плоскости a, M0(X0,Y0,Z0)- точка, принадлежащая плоскости a. Пусть M(X,Y,Z), произвольная точка пространства,

.

Тогда точка M принадлежит плоскости a тогда и только тогда, когда векторы и N Ортогональны. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, Последнее в ортонормированном базисе можно записать в виде:

Таким образом, получаем уравнение плоскости, Проходящей через точку и перпендикулярной вектору N = (A,B,C) ≠ 0.

Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка

Где коэффициенты одновременно не равны нулю, т. е. A2+ B2+ C2 ≠ 0.

Теорема 1. Любую плоскость в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (1) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую плоскость в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором N = (A,B,C) ≠ 0 И точкой M0(X0,Y0,Z0), принадлежащей плоскости. Уравнение этой плоскости выведено в §2.2 и имеет вид:

Где D = —Ax0 — By0 — Cz0. Так (A,B,C) ≠ 0, то A2+ B2+ C2 ≠ 0 и любая плоскость есть поверхность первого порядка.

Обратно, пусть некоторая поверхность в пространстве определена уравнением (1). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (1) имеет решение (X0,Y0,Z0). Тогда

И точка M0(X0,Y0,Z0) принадлежит поверхности. Вычитая почленно из уравнения (1) равенство (2), получим уравнение

Равносильное уравнению (1). Это уравнение в силу §2.2, определяет плоскость, проходящую через точку M0(X0,Y0,Z0), перпендикулярную вектору N = (A,B,C).

Определение 2. Направляющими векторами плоскости A называется пара неколлинеарных векторов S1 И S2 Параллельных плоскости A.

Пусть S1 = (M1,K1,L1), S2 = (M2,K2,L2) — направляющие вектора плоскости a, M0(X0,Y0,Z0)- точка, принадлежащая плоскости a. Пусть M(X,Y,Z), произвольная точка пространства,

.

Тогда точка M принадлежит плоскости a тогда и только тогда, когда векторы , S1 и S2 компланарны. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю. Таким образом, получаем уравнение плоскости по Двум направляющим векторам и точке, принадлежащей плоскости

. (4)

Пример 1. Найдем уравнение плоскости с направляющими векторами S1 = (B,—A,0), S2 = (C,0,—A), где A ≠ 0. Так как векторы S1 и S2 неколлинеарны, то формуле (4) находим уравнение этой плоскости:

.

.

Сократим на A ≠ 0 и получаем уравнение

. (5)

Рассмотрим радиус вектора RO = и R =. Точка M принадлежит плоскости a тогда и только тогда, когда векторы = R — RO, S1 и S2 компланарны. Так как векторы S1 и S2 неколлинеарны, то последнее равносильно тому, что вектор R — RO линейная комбинация векторов S1 и S2, т. е. R — RO = US1 +VS2, где U, V — действительные числа.

Отсюда получаем так называемое Векторно-параметрическое уравнение Плоскости.

Где U, V — произвольные действительные параметры.

Так как R == (X,Y,Z), RO = = (X0,Y0,Z0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим Параметрические уравнения плоскости:

(7)

Где U, V — произвольные действительные параметры, S1 = (M1,K1,L1), S1 = (M2,K2,L2) — направляющие вектора плоскости, M0(X0,Y0,Z0)- точка, принадлежащая плоскости.

Пусть даны три точки M1(X1,Y1,Z1), M2(X2,Y2,Z2), M3(X3,Y3,Z3) плоскости, которые не принадлежат одной прямой. Тогда векторы ,

являются направляющими векторами плоскости a. Применяя формулу (4) получим Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

. (8)

Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси Ox, Oy, Oz Соответственно в точках M1(A,0,0), M2(0,B,0), M3(0,0,c). По формулу (8) находим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки

.

Вычислим этот определитель и преобразуем полученное уравнение к более простому виду

. (9)

Уравнение (5) называется Уравнением плоскости в отрезках на осях.

.Замечание 1. Уравнение (1) называется Общим уравнением плоскости. Если плоскость a задается общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат, то N = (A,B,C) — нормальный вектор плоскости a.

Если плоскость a задается общим уравнением (1) в произвольной аффинной системе координат и A ≠ 0, то S1 = (B,—A,0), S2 = (C,0,—A) направляющие вектора плоскости a.

Рассмотрим Частные случаи уравнения (1).

1. Пусть D = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + Cz = 0 и плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис. 6).

2. Пусть С = 0, A ≠ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора S1 = (B,—A,0) и S2 = (0,0,—A) этой плоскости. Так как базисный вектор Е3 = (0,0,1) оси Oz. коллинеарен вектору S2, то плоскость a, определяемая этим уравнением, параллельна оси Oz (см. Рис. 7).

3. Пусть B=0, С = 0, A ≠ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора S1 = (0,—A,0) и S2 = (0,0,—A) этой плоскости. Так как базисные векторы е2 = (0,1,0), Е3 = (0,0,1) .коллинеарны соответственно векторам вектору S1, S2, то плоскость a, определяемая этим уравнением, параллельна координатной плоскости Ozy (см. Рис. 8).

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x — x 0 + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = A x + B y + C z — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y — z — 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( — 1 ) — ( — 3 ) — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 — ( — 8 ) — 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y — z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , — 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( — 1 , 2 , — 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , — 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = — 1 , y 0 = 2 , z 0 = — 3 , A = 3 , B = 7 , C = — 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

3 ( x — ( — 1 ) ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z — ( — 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) = ( x + 1 , y — 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = — D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = — D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = — D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , — D C , 0 , — D B , 0 и — D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , — 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , — 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = — 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x — 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z — 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 = 0

Ответ: x — 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .