Уравнение плоскости основания правильной четырехугольной призмы

Правильная четырехугольная призма

Элементы правильной четырехугольной призмы

• Основания ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны и параллельны друг другу
• Боковые грани AA₁D₁D, AA₁B₁B, BB₁C₁C и CC₁D₁D, каждая из которых является прямоугольником
• Боковая поверхность — сумма площадей всех боковых граней призмы
• Полная поверхность — сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
• Боковые ребра AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.
• Диагональ B₁D
• Диагональ основания BD
• Диагональное сечение BB₁D₁D
• Перпендикулярное сечение A₂B₂C₂D₂ .

Свойства правильной четырехугольной призмы

• Основаниями являются два равных квадрата
• Основания параллельны друг другу
• Боковыми гранями являются прямоугольники
• Боковые грани равны между собой
• Боковые грани перпендикулярны основаниям
• Боковые ребра параллельны между собой и равны
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
• Углы перпендикулярного сечения — прямые
• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Для площади поверхности куба:

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
• площадь основания: Sосн = V / h,
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Призма и ее элементы. Свойства правильной четырехугольной призмы

Призма является достаточно простой геометрической объемной фигурой. Тем не менее у некоторых школьников при определении ее основных свойств возникают проблемы, причина которых, как правило, связана с неправильно используемой терминологией. В данной статье рассмотрим, какие призмы бывают, как они называются, а также подробно охарактеризуем правильную четырехугольную призму.

Призма в геометрии

Изучение объемных фигур является задачей стереометрии — важной части пространственной геометрии. В стереометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована параллельным переносом произвольного плоского многоугольника на определенное расстояние в пространстве. Параллельный перенос предполагает такое перемещение, при котором поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника, полностью исключен.

Вам будет интересно: Холю и лелею. Что значит лелеять и холить?

В результате описанного способа получения призмы образуется фигура, ограниченная двумя многоугольниками, имеющими одинаковые размеры, лежащими в параллельных плоскостях, и некоторым числом параллелограммов. Их количество совпадает с числом сторон (вершин) многоугольника. Одинаковые многоугольники называются основаниями призмы, а площадь их поверхности — это площадь оснований. Параллелограммы, соединяющие два основания, образуют боковую поверхность.

Элементы призмы и теорема Эйлера

Поскольку рассматриваемая объемная фигура представляет собой полиэдр, то есть образована набором пересекающихся плоскостей, то она характеризуется некоторым количеством вершин, ребер и граней. Все они являются элементами призмы.

В середине XVIII века швейцарский математик Леонард Эйлер установил связь между количеством основных элементов полиэдра. Эта связь записывается следующей простой формулой:

Число ребер = число вершин + число граней — 2

Для любой призмы справедливо это равенство. Приведем пример его использования. Предположим, имеется правильная четырехугольная призма. Она изображена на рисунке ниже.

Видно, что число вершин для нее равно 8 (по 4 для каждого четырехугольного основания). Число сторон, или граней составляет 6 (2 основания и 4 боковых прямоугольника). Тогда количество ребер для нее будет равно:

Число ребер = 8 + 6 — 2 = 12

Все их можно посчитать, если обратится к тому же рисунку. Восемь ребер лежат в основаниях, а четыре ребра перпендикулярны этим основаниям.

Полная классификация призм

С этой классификацией важно разобраться, чтобы впоследствии не путаться в терминологии и использовать правильные формулы для вычисления, например, площади поверхности или объема фигур.

Для любой призмы произвольной формы можно выделить 4 признака, которые ее будут характеризовать. Перечислим их:

• По количеству углов многоугольника в основании: треугольная, пятиугольная, восьмиугольная и так далее.
• По типу многоугольника. Он может быть правильным или неправильным. Например, прямоугольный треугольник является неправильным, а равносторонний — правильным.
• По типу выпуклости многоугольника. Он может быть вогнутым или выпуклым. Чаще всего встречаются выпуклые призмы.
• По углам между основаниями и боковыми параллелограммами. Если все эти углы равны 90o, то говорят о прямой призме, если не все из них являются прямыми, то такую фигуру называют косоугольной.

Из всех этих пунктов хотелось бы остановиться подробнее на последнем. Прямая призма также называется прямоугольной. Связано это с тем, что для нее параллелограммы являются прямоугольниками в общем случае (в некоторых случаях они могут быть квадратами).

Для примера на рисунке выше изображена пятиугольная вогнутая прямоугольная, или прямая фигура.

Правильная четырехугольная призма

Основание этой призмы представляет собой правильный четырехугольник, то есть квадрат. Выше на рисунке уже было показано, как выглядит эта призма. Помимо двух квадратов, которые ее ограничивают сверху и снизу, она также включает 4 прямоугольника.

Обозначим сторону основания правильной четырехугольной призмы буквой a, длину ее бокового ребра обозначим буквой c. Эта длина также является высотой фигуры. Тогда площадь всей поверхности этой призмы выразится формулой:

S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)

Здесь первое слагаемое отражает вклад оснований в общую площадь, второе слагаемое — это площадь боковой поверхности.

Учитывая введенные обозначения для длин сторон, запишем формулу для объема рассматриваемой фигуры:

То есть объем вычисляется как произведение площади квадратного основания на длину бокового ребра.

Фигура куб

Все знают эту идеальную объемную фигуру, но мало кто задумывался, что она представляет собой правильную четырехугольную призму, сторона которой равна длине стороны квадратного основания, то есть c = a.

Для куба формулы полной площади поверхности и объема примут вид:

Поскольку куб — это призма, состоящая из 6 одинаковых квадратов, то любую параллельную пару из них можно считать основанием.

Куб — это высокосимметричная фигура, которая в природе реализуется в виде кристаллических решеток многих металлических материалов и ионных кристаллов. Например, решетки золота, серебра, меди и поваренной соли являются кубическими.