Уравнение плоскости параллельной плоскости xoy имеет вид
Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy и проходящей через точку A(1, 2, -4).
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy, имеет вид: Cz + D = 0.
Подставляя в него координаты точки A, получим -4C + D = 0, или D = 4C. Подставляя это значение в Cz + D = 0, получим
а сокращая на C, будем иметь окончательно
Уравнение плоскости параллельной плоскости xoy имеет вид
Если A = B = 0, т. е. уравнение имеет вид Cz + D = 0, или .
то вектор нормали коллинеарен вектору k = (0, 0, 1). Поэтому плоскость перпендикулярна оси OZ, а значит параллельна плоскости XOY. Координатная плоскость XOY имеет уравнение z = 0.
Аналогично, x = 0 — уравнение координатной плоскости YOZ; x = а — уравнение плоскости, параллельной YOZ; y = 0 — уравнение плоскости XOZ; y = b — уравнение плоскости, параллельной XOZ.
Если равна нулю только одна из координат вектора нормали, то нормаль перпендикулярна, а плоскость, следовательно, параллельна соответствующей оси. Например, плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси OY (возможно, содержит эту ось).
Вопросы о взаимном расположении плоскостей решаются с помощью вектора нормали. Пусть две плоскости заданы своими уравнениями: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (плоскость P1), A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (плоскость P2).
Запишем в краткой, символической форме условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:
Угол между плоскостями равен углу между векторами нормали и находится с помощью скалярного произведения (см. раздел 4.2).
Пример 9. Найти угол между плоскостями 2x — 2y + z — 5 = 0, x — z + 7 = 0.
Решение. Найдём косинус угла между векторами нормали N1 = (2, —2, 1) и N2 = (1, 0, —1):
Используя таблицы или калькулятор, можно найти.
Как известно, через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Научимся решать эту важную задачу в общем виде, а затем рассмотрим пример.
Пусть точки M1(x1, y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) не лежат на одной прямой. Мы помним, что главное для записи уравнения плоскости — найти вектор нормали, т. е. какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости. В качестве такого вектора можно взять векторное произведение:
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения
Ax+By+Cz+D=0 | (1) |
Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной плоскости (1)(Рис.1).
Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (1):
(2) |
Решим (2) относительно D:
D=−(Ax0+By0+Cz0) | (3) |
Подставляя значение D из (3) в (1), получим:
Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0)=0 | (4) |
Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 | (5) |
Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и параллельной плоскости (1).
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости :
(6) |
Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):
(7) |
Подставляя координаты точки M0 и координаты нормального вектора в (3), получим:
(8) |
Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:
Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:
http://www.chem-astu.ru/chair/study/algebra-geometry/?p=130
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti2-online.php