Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с постановки задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям и .
Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.
Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .
Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).
Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно
- найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
- принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
- написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .
Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.
Задача 29244 5.2.13) Найти уравнение плоскости.
Условие
5.2.13) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(1; 1; 1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей x-у+2z-3 = 0 и 2x-z+4 = 0.
Решение
Находим прямую, являющуюся пересечением двух плоскостей
x -y +2*(2x+4)-3=0 ⇒ y=5x+5
x=(y-5)/5=(z-4)/2 — уравнение линии пересечения плоскостей.
Направляющий вектор прямой — нормальный вектор искомой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector
имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0
А=1; B=5; C=2
x_(o)=1; y_(o)=1; z_(o)=1
1*(x-1)+5*(y-1)+2*(z-1)=0
x+5y+2z-8=0
О т в е т. x+5y+2z-8=0
Линия пересечения плоскостей онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α1 и α2:
α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, | (1) |
α2: A2x+B2y+C2z+D2=0, | (2) |
Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α1 и α2. Для этого рассмотрим следующие случаи:
Умножив уравнение (2) на λ, получим:
α2: A1x+B1y+C1z+λD2=0, | (3) |
Если векторы n1 и n2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:
(4) |
Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.
Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n1=<A1, B1, C1> и n2=<A2, B2, C2> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:
, | (5) |
Равенство (5) можно записать в следующем виде:
. | (6) |
Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α1 и α2. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:
. |
Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
α1: x+2y+z+54=0. | (7) |
α2: 2x+9y−5z+32=0. | (8) |
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 неколлинеарны, то плолскости α1 и α2 пересекаются.
Для нахождения линии пересечения влоскостей α1 и α2 нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:
. | (9) |
Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
. | (10) |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:
. |
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:
. |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
. |
. | (11) |
где t− произвольное действительное число.
Запишем (11) в следующем виде:
. | (12) |
Получили уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.
(13) |
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2имеет вид:
Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
(14) |
(15) |
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/2), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/2:
(16) |
Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α1 и α2 не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.
Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
(17) |
(18) |
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/3), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/3:
(19) |
Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α1 и α2 совпадают.
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=29244
http://matworld.ru/analytic-geometry/linija-peresechenija-ploskostej.php