Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Пусть дана некоторая точка M0 и ненулевой вектор n. Через точку M0 можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).
Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow
Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.
Пусть точка M0 и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:
Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор \(\overrightarrow
Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору (А; В; С).
Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).
В данном случае х0 = -3, у0 = 4, z0 = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение
3адачa 2. Даны точки M1 (2; -1; 3) и M2(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М2 перпендикулярно вектору \(\overrightarrow
За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = \(\overrightarrow
Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А1<-5; 2; 7), А2(5; 0; 6), А3(0; -1; 2) проведена медиана А1М0. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.
За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = \(\overrightarrow
Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны
A = 5 /2 + 5 = 15 /2, В = — 1 /2 — 2 = — 5 /2, С = 4 — 7 = — 3.
Задача 31064 Составить уравнение плоскости.
Условие
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A
перпендикулярно вектору AB, если A(-1, 2,-3) и B(0, -1, 1)
Решение
vector
1*(x-(-1)) — 3*(y — 2) + 4* (z -(-3))=0 — уравнение плоскости, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.
Уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
x | + | y | + | z | = 1 |
a | b | c |
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x 0, y 0, z 0) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле
x — x 1 | y — y 1 | z — z 1 | = 0 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 | |
x 3 — x 1 | y 3 — y 1 | z 3 — z 1 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=31064
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/plane/