Уравнение плоскости перпендикулярной вектору нормали

Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x ₀, y ₀, z ₀) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Уравнение плоскости через координаты вектора нормали и точки: онлайн-калькулятор

Плоскость — это бесконечная поверхность с принадлежащими ей прямыми, через которые проходят любые две ее точки. Нормалью к кривой в указанной точке является прямая, расположенная перпендикулярно к касательной прямой в заданной точке кривой.

Если указаны координаты точки A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , принадлежащей плоскости, и вектор нормали n = < A , B , C >, то уравнение плоскости соответствует формуле:

A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 .

Чтобы найти уравнение плоскости, перпендикулярной вектору онлайн, необходимо:

• указать значение точки A ;
• заполнить значение вектора;
• воспользоваться кнопкой «Рассчитать».

Как найти уравнение плоскости через координаты вектора нормали и точки с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Пусть нужно найти уравнение плоскости по вектору нормали к ней и координатам точки, лежащей в плоскости. Для этого в онлайн-калькуляторе просто зададим известную точку и соответствующий вектор (нормаль):

Впишем значения в пустые поля и нажмем «Рассчитать» (значения взяты произвольно):

После этого калькулятор автоматически выдаст подробное решение с ответом:

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Уравнение плоскости через точку перпендикулярно вектору онлайн

Сервис предназначен для геометрических вычислений, которыми пользуются учащиеся школ и студенты университетов для подготовки к занятиям.

Решение задачи с помощью онлайн-калькулятора имеет преимущества:

• формула в основе автоматических подсчетов дает точный ответ без ошибок и опечаток;
• нет необходимости искать нужный способ расчета;
• пользователю доступно подробное решение;
• производить расчеты можно неограниченное количество раз бесплатно.

Пошаговые вычисления позволяют учащемуся вникнуть в процесс решения задачи по геометрии и справляться с заданиями самостоятельно. Подготовка к занятиям благодаря калькулятору занимает меньше времени и происходит более продуктивно.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пусть дана некоторая точка M₀ и ненулевой вектор n. Через точку M₀ можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrowM>\) перпендикулярен вектору n. Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть точка M₀ и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор \(\overrightarrowM>\) имеет координаты х — х₀, у — у₀ и z — z₀, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 4, z₀ = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение

3адачa 2. Даны точки M₁ (2; -1; 3) и M₂(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₂ перпендикулярно вектору \(\overrightarrowM_2>\).

За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = \(\overrightarrowM_2>\) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М₀ = М₂(4; 5; 0) в уравнение (2) получим

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А₁<-5; 2; 7), А₂(5; 0; 6), А₃(0; -1; 2) проведена медиана А₁М₀. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно медиане А₁М₀.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = \(\overrightarrowM_0>\). Определим его координаты. Точка М₀ — середина отрезка А₂А₃, поэтому, если (х₀; у₀; z₀) — ее координаты, то

Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны

A = 5 /₂ + 5 = 15 /₂, В = — 1 /₂ — 2 = — 5 /₂, С = 4 — 7 = — 3.