Уравнение плоскости по двум точкам перпендикулярно плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с постановки задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям и .

Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.

Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .

Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).

Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно

  • найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
  • принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
  • написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .

Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Составить уравнение плоскости

Этот калькулятор онлайн составляет (находит) уравнение плоскости по трем точкам, лежащим на плоскости или по нормали и одной точке лежащей на плоскости.

Онлайн калькулятор для нахождения уравнения плоскости не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac<5> <7>\)

Составить уравнение плоскости

Немного теории.

Общее уравнение плоскости

Пусть заданы:
прямоугольная система координат Oxyz,
произвольная плоскость \( \pi \);
точка \( M_0(x_0;y_0;z_0) \in \pi \);
вектор \( \vec(A;B;C) \), перпендикулярный плоскости \( \pi \) (смотри рисунок).

Рассмотрим произвольную точку М(х; у; z). Точка М лежит на плоскости \( \pi \) тогда и только тогда, когда векторы \( \vec \) и \( \vec \) взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора \( \vec \) равны \( x-x_0, \; y-y_0, \; z-z_0 \) , то в силу условия перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение должно быть равно нулю) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости \( \pi \) тогда и только тогда, когда

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
\( Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0 \)
Далее, обозначая число \( -Ax_0-By_0-Cz_0 \) через \( D \), получаем

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость. Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение \( Ax+By+Cz+D=0 \) с произвольными коэффициентами А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение \( x_0, \; y_0, \; z_0 \) ( если, например, \( C \neq 0 \), то, взяв произвольные х0, и y0, из уравнения получим: \( z_0 = -\fracx_0 — \fracy_0-\frac \) ).

Таким образом, существует хотя бы одна точка M0(x0; y0; z0), координаты которой удовлетворяют уравнению, т.е. Ax0+By0+Cz0+D=0. Вычитая это числовое равенство из уравнения Ax+By+Cz+D=0, получаем уравнение
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D=0,
эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение Ax+By+Cz+D=0 ) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет плоскость \( \pi \), проходящую через точку M0(x0 и перпендикулярную вектору \( \vec(A;B;C) \).

Вектор \( \vec(A;B;C) \), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором или нормалью этой плоскости.

Теорема
Если два уравнения \( A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \) и \( A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны, т.е. $$ \frac = \frac = \frac = \frac $$

Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим две плоскости \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \), заданные соответственно уравнениями

При любом расположении плоскостей \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \) в пространстве один из углов \( \varphi \) между ними равен углу между их нормалями \( \vec(A_1;B_1;C_1) \) и \( \vec(A_2;B_2;C_2) \) и вычисляется по следующей формуле:
$$ \cos \varphi = \frac < \vec\cdot \vec>< |\vec| |\vec| > = \frac <\sqrt\; \sqrt > \tag <3>$$

Второй угол равен \( 180^\circ -\cos \varphi \)

Условие параллельности плоскостей

Если плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) параллельны, то коллинеарны их нормали \( \vec \) и \( \vec \), и наоборот. Но тогда
$$ \frac = \frac = \frac \tag <4>$$
Условие (4) является условием параллельности плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \)

Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) взаимно перпендикулярны, то их нормали \( \vec \) и \( \vec \) также перпендикулярны, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \):
\( A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0 \)

Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x+y+z= 1
abc

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x 0, y 0, z 0) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x — x 1y — y 1z — z 1= 0
x 2 — x 1y 2 — y 1z 2 — z 1
x 3 — x 1y 3 — y 1z 3 — z 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.


источники:

http://www.math-solution.ru/math-task/lp-eqplain

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/plane/