Как составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам?
Рассмотрим точку и два неколлинеарных вектора .Уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам ,выражается формулой:
! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.
Принципиально ситуация выглядит так:
Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость (векторы будут свободно «вертеться» вокруг точки).
Составить уравнение плоскости по точке и векторам .
Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:
Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:
Раскрываем определители второго порядка:
На первом месте у нас находится знак «минус». Хорошим тоном считается убрать наглеца, в этих целях меняем знак у каждого слагаемого. Проводим дальнейшие упрощения и получаем уравнение плоскости:
Сократить здесь ничего нельзя, поэтому:
Ответ:
…числа, конечно, страшноваты получились для первого примера =) …но переделывать, пожалуй, не буду, на практике большие числа – вещь распространённая.
Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но я обязательно выполню её чуть позже.
Составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам .
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Иногда может потребоваться решить обратную задачу – по известному уравнению плоскости найти параллельные ей векторы. Кстати, сколько параллельных векторов существует у плоскости? Бесконечно много. Однако нельзя объять необъятное, поэтому «вытащим» из уравнения плоскости три таких вектора:
Пусть плоскость задана общим уравнением . Тогда векторы будут параллельны данной плоскости (а, значит,компланарны), и какие-либо два из них – линейно независимы. Так, в Примере №1 мы составили уравнение плоскости . Построенной плоскости будут параллельны следующие векторы: . Если честно, не припомню, чтобы приходилось этим пользоваться, тем не менее, справка не лишняя.
Два неколлинеарных вектора и точка – это «жёсткая» конструкция, однозначно определяющая плоскость. Но существует более очевидный способ, о котором упоминалось выше, и он громким стуком в дверь уже давно просится на урок. Три точки. Дёшево и сердито.
5.2.1. Как составить уравнение плоскости
по точке и двум неколлинеарным векторам?
Конструировать уравнение будем с помощью векторов и точек. Их должно быть как можно меньше, но достаточно, чтобы однозначно определить плоскость. Одним словом, красивая математическая лаконичность.
Казалось бы, плоскость можно однозначно определить с помощью двух неколлинеарных векторов. Но нет – векторы свободны и бродят по всему пространству, поэтому ещё нужна фиксированная точка:
Уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно неколлинеарным векторам , выражается формулой:
! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.
Принципиально ситуация выглядит так:
Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость однозначно (они будут «вертеться» вокруг точки и зададут целый «пучок» плоскостей).
Задача 130
Составить уравнение плоскости по точке и неколлинеарным векторам .
Решение: искомое уравнение составим по формуле:
Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:
Раскрываем определители второго порядка:
На первом месте у нас нарисовался знак «минус», и хорошим тоном считается его убрать (точно так же, как и у общего уравнения «плоской» прямой).
Меняем у каждого слагаемого знак и проводим дальнейшие упрощения:
, сократить здесь ничего нельзя, поэтому:
Ответ:
Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но мы обязательно выполним её чуть позже. Решаем самостоятельно:
Задача 131
Составить уравнение плоскости по векторам и принадлежащей ей точке .
Кстати, если векторы коллинеарны, то и на этот случай есть корректный ответ 😉
Задача 55741 5.2.9)Написать уравнение.
Условие
5.2.9)Написать уравнение плоскости,проходящей через точку M(1;-1;0) , параллельно векторам a=(0;2;3) и b(-1;4;2)
Решение
Пусть P(x;y;z) — произвольная точка плоскости.
Условие компланарности- равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов
Раскрываем определитель по правилу треугольника:
http://mathter.pro/angem/5_2_1_kak_sostavit_uravnenie_ploskosti_po_tochke_i_dvum_vektoram.html
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=55741