Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно ребру

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

В этой статье мы поговорим о том, как составляется уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Сначала разберем принцип нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, после чего подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка , прямая a и требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М₁ перпендикулярно к прямой a .

Сначала вспомним один важный факт.

На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10 — 11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).

Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.

В условии задачи нам даны координаты x₁ , y₁ , z₁ точки М₁ , через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной к плоскости . Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a .

В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямую a в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , то направляющий вектор этой прямой имеет координаты a_x , a_y и a_z ; если же прямая a проходит через две точки и , то координаты ее направляющего вектора определяются как .

Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a :

• находим координаты направляющего вектора прямой a ();
• принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора плоскости (, где );
• записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Из найденного общего уравнения плоскости вида можно, при необходимости, получить уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Рассмотрим решения нескольких примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения

.

(1)

Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀ и перпендинулярной прямой L.

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:

Упростим уравнение (3):

Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярной прямой (1).

Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:

Подставляя координаты точки M₀ и направляющего вектора q в (8), получим:

(9)

Упростим уравнение (9):

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:

(11)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:

(11′)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:

Подставляя координаты точки M₀ и направляющего вектора q в (13), получим:

Упростим уравнение (13):

Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).

Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x ₀, y ₀, z ₀) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.