Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Пусть дана некоторая точка M0 и ненулевой вектор n. Через точку M0 можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).
Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow
Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.
Пусть точка M0 и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:
Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор \(\overrightarrow
Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору (А; В; С).
Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).
В данном случае х0 = -3, у0 = 4, z0 = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение
3адачa 2. Даны точки M1 (2; -1; 3) и M2(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М2 перпендикулярно вектору \(\overrightarrow
За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = \(\overrightarrow
Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А1<-5; 2; 7), А2(5; 0; 6), А3(0; -1; 2) проведена медиана А1М0. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.
За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = \(\overrightarrow
Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны
A = 5 /2 + 5 = 15 /2, В = — 1 /2 — 2 = — 5 /2, С = 4 — 7 = — 3.
Задача 12615 1) Составить уравнение плоскости.
Условие
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к векторы AB, если A(5,-2,3) B(1,-3,5)
2) Определить при каком значении B плоскости x-4y+z=0 и 2x+By+10z=0 будут перпендикулярны
Решение
1) Уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид
ax+by+cz=0
Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты
vector
Вектор АВ имеет координаты (1-5;-3-(-2);5-3)=(-4;-1;2).
По условию вектор n и вектор АВ коллинеарны.
Значит vector
О т в е т. -4х-у+2z=0 или 4х+у-2z=0
2) vector
Если плоскости перпендикулярны, их нормальные векторы тоже перпендикулярны.
Нормальные векторы перпендикулярны, значит скалярное произведение равно 0.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
1*2+(-4)*В+1*10=0
-4В=-12
В=3
О т в е т. При В=3.
Уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
x | + | y | + | z | = 1 |
a | b | c |
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x 0, y 0, z 0) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле
x — x 1 | y — y 1 | z — z 1 | = 0 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 | |
x 3 — x 1 | y 3 — y 1 | z 3 — z 1 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12615
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/plane/