Уравнение плоскости симметричной данной плоскости относительно плоскости

Задача 32136 Найти координаты точки, симметричной.

Условие

Найти координаты точки, симметричной точке А=(-6,-6,10) относительно плоскости ,заданной уравнением 2*x+3*y-3*z-6=0.

Решение

Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector=(2;3 ;-3) является направляющим вектором прямой.

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

При t=3
x=0; y=3; z=1

M(0;3;1) — проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-6+ x_(A_(1)))/2=0 ⇒ x_(A_(1))=6
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=12
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-8

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №5. Метод преобразований решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• симметрия относительно произвольной плоскости;
• понятие «метод движений» в пространстве.

Глоссарий по теме

Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.

Метод параллельного переноса

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.

Применение симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой точки/оси/плоскости.

Идея метода поворота состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /– М.: Дрофа, 2009. – 235,: ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196. Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.

1.1. Метод параллельного переноса.

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.

Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных.

1.2. Метод симметрии.

Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.

Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи.

1.3. Метод поворота.

Поворотом также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.

2. Решение задач методом преобразований

2.1. Симметрия относительно произвольной плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке , относительно плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е. .

Поэтому уравнение прямой будет:

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Для этого обозначим и выразим x, y, z:

.

Подставим x, y, z в уравнение плоскости:

найдем значение t.

Затем найдем x, y, z. Найденные координаты будут являться координатами точки .

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

, , .

Задача 1. Найти точку M’, симметричную точке M относительно плоскости.

M(1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0.

Уравнение прямой, которая проходит через точку M перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

,

,

(1 + t) + 4(1 + 4t) + 3(1 + 3t) + 5 = 0,

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка MM’, поэтому

,

,

,

Даны плоскость α: x + 2y – z – 2 = 0 и две точки А(1, -2, -3) и В (-1, -1, -2). Найдите на этой плоскости точку С такую, чтобы ломаная АСВ имела наименьшую длину.

Данная плоскость пересекает оси координат в точках

Две заданные точки лежат по одну сторону от данной плоскости.

Если бы две точки лежали по разные стороны от плоскости α, то очевидно, искомой точкой С была бы точка пересечения отрезка, концами которого являются данные точки, с плоскостью α, а ломаная выродилась бы в отрезок.

Сведем нашу задачу к описанной ситуации.

Для этого найдем точку, симметричную любой из заданных относительно данной плоскости α.

Например, точке А.

Используя решение задачи 1, получим следующую последовательность действий.

Уравнение прямой, которая проходит через точку А перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.

.

.

(1 + t) + 2(2t – 2) — (-t– 2) – 2 = 0

Откуда точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости α и проходящей через точку А, с плоскость α . Точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка АА’, поэтому

,

,

,

Теперь найдем точку пересечения отрезка A’B с плоскостью α.

Прямая A’B имеет направляющий вектор .

Уравнение прямой A’B:

.

Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.

.

.

.

Таким образом, координаты искомой точки .

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Напишите уравнение образа плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.

Найдем координаты двух точек плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0, лежащих в плоскости Oxz. Для этого найдем точки плоскости, принадлежащие осям координат.

OX: z = y = 0, x = 2,5 A(2,5; 0; 0)

OZ: x = y = 0, z = -5 B(0; 0; -5).

Эти точки принадлежат и образу плоскости 2x + 3y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.

Теперь найдем точку данной плоскости, принадлежащую оси ординат.

OY: z = x = 0, y = 2,5 С(0; 1; 0).

Точка, симметричная точке С относительно плоскости Oxz, имеет координаты С'(0; -1; 0).

Теперь напишем уравнение плоскости через три полученные точки.

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.